Урок 11. Функция y = xⁿ

Конспект

Рассмотрим функции y = x, y = x2 и y = x3. Эти функции и их графики нам известны.

Все эти функции, а также функции y = x4, y = x5 – частные случаи степенной функции.

Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, заданная формулой y = xn, где x – независимая переменная, а n – натуральное число.

Выясним свойства степенной функции и её графика для любого натурального n. Областью определения степенной функции является множество всех действительных чисел.

Остальные свойства рассмотрим отдельно для чётных и нечётных n.

Для любого n если x = 0, то y = 0, то есть график функции проходит через начало координат.

Чётная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна, следовательно график степенной функции для чётного n расположен в первой и второй координатных четвертях.

Нечётная степень положительного числа положительна, а отрицательного – отрицательна. График степенной функции для нечётного n расположен в первой и третьей четвертях.

При чётном n функция возрастает на промежутке [0; +∞) и убывает на промежутке (–∞; 0], а при нечётном – возрастает на всей области определения.

При чётных n область значения функции есть множество неотрицательных чисел, при нечётных – область значения функции есть множество всех действительных чисел.

Рассмотрим пример 1. Дана функция y = x6. При каких значениях x выполняется y(x) ≤ 0?

6 – чётное число. Множество значений функции y = x6 – множество неотрицательных чисел, причем y = 0 только при x = 0, это единственное значение, удовлетворяющее условию y ≤ 0.

Ответ: x = 0.

Пример 2. Дана функция y = x12. Что больше: y(–17) или y(15)?

Для решения вовсе необязательно возводить числа – 17 и 15 в 12-ю степень. Можно воспользоваться свойствами степенной функции. Так как 12 – чётное число, y(–17) = y(17).

Функция y = x12 возрастает на промежутке [0; +∞), и y(17) > y(15).

Таким образом y(–17) > y(15).

Рассмотрим пример 3. Проходит ли график функции y = x3 через точки А(1; –1), В(2; 32), С(–5; –125) и D(–3; 27)?

На этот вопрос можно ответить, не строя график, а проверив, удовлетворяют ли координаты точки уравнению y = x3. Для точки А координата x = 1, координата y = –1. 13 = 1, а не –1, следовательно график не проходит через точку А.

Аналогично 23 ≠ 32, а (–3)3 ≠ 27, и через точки В и D график также не проходит.

Для точки С: (–5)3 = –125 и график проходит через точку С.

Пример 4. Укажите какое-нибудь значение аргумента, при котором значение функции y = x4, больше, чем 820.

Представим 820 в виде степени с показателем 4: 820 = (85)4. То есть 820 = y(85).

Так как функция y = x4 возрастает на [0; +∞), в качестве нужного значения аргумента можно взять любое число, большее, чем 85, например 105.

Ответ: 105.