Урок 19. Решение неравенств второй степени с одной переменной

Конспект

Неравенства, в одной части которых стоит квадратный трёхчлен, а в другой – нуль, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Для решения неравенств такого вида используют свойства квадратичной функции и её графика. А именно, нули функции и направление ветвей параболы.

Приведём пример. Решим неравенство 3x2 – 11x – 4 > 0.

Рассмотрим функцию y = 3x2 – 11x – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x2 равен 4, а 4 > 0.

Для того чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось абсцисс и в каких точках, решим квадратное уравнение 3x2 – 11x – 4 = 0. Это уравнение имеет два корня: и 4.

Покажем схематически, как расположена парабола на координатной плоскости.

На оси абсцисс отметим нули функции, то есть те значения, которые мы получили при решении квадратного уравнения: и 4.

Так как ветви параболы направлены вверх, она будет расположена так.

Обратим внимание, что функция принимает положительные значения, когда  или x ∈ (4; +∞), а отрицательные значения, когда .

Таким образом, множеством решений нашего неравенства будет .

Рассмотрим ещё один пример: x2 – 3x + 4 > 0.

Рассмотрим функцию y = x2 – 3x + 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Чтобы выяснить, как расположен график данной функции относительно оси абсцисс, решим квадратное уравнение x2 – 3x + 4 = 0.

Дискриминант этого уравнения меньше нуля, а значит, уравнение не имеет корней.

Значит, парабола не имеет общих точек с осью x. Изобразим схематически расположение параболы на координатной плоскости. Очевидно, что при любом значении переменной x функция принимает положительные значения.

Таким образом, решением рассматриваемого неравенства является любое число.