Урок 2. Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов

Конспект
Рассмотрим ситуацию.
Стартовав из пункта A, туристы прошли 4 километра на запад, а затем 3 километра на север. В результате этих двух перемещений туристы переместились из пункта А в пункт С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором (AC) ⃗. Перемещение из пункта А в пункт С складывается из перемещения из пункта А в пункт В и перемещения из пункта В в пункт С, поэтому вектор (AC) ⃗ естественно назвать суммой векторов (AB) ⃗ и (BC) ⃗.
Этот пример приводит нас к понятию суммы векторов: (AB) ⃗+ (BC) ⃗= (AC) ⃗
Даны два вектора: a ⃗ и b ⃗. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор (AB) ⃗, равный вектору a ⃗.
(AB) ⃗ = a ⃗
Затем от точки В отложим вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗.
(BC) ⃗ = b ⃗.
Вектор (AC) ⃗ называется суммой векторов a ⃗ и b ⃗.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
(AC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: для произвольных точек А, В и С сумма векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗ равна вектору (AC) ⃗: (AB) ⃗+ (BC) ⃗= (AC) ⃗.
Складывая по правилу треугольника произвольный вектор a ⃗ с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора a ⃗ справедливо равенство a ⃗ + 0 ⃗ = a .
Докажем законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.
От произвольной точки А отложим векторы (AB) ⃗, равный вектору и вектор (AD) ⃗, равный вектору b ⃗.
(AB) ⃗ = a ⃗, (AD) ⃗ = b ⃗.
На векторах (AB) ⃗ и (AD) ⃗ построим параллелограмм АВСD.

По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.

(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a1) ⃗+ (a2) ⃗ + (a3) ⃗ + (a4) ⃗+ (a5) ⃗