Урок 21. Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Конспект
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Зная, что сумма всех углов такого n-угольника равна полупроизведению числа сторон на 180 градусов, можно получить формулу для вычисления угла αn правильного n-угольника, разделив общую сумму на число равных между собой углов: αn = (n — 2)/n ∙ 180°
Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Пусть A1 A2 A3 … An – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов A3 и A2.
Докажем, что отрезок OA1 равен OA2 равен OA3 и так далее равен OAn. Так как многоугольник правильный, то угол A2 равен углу A3, а значит, угол 1 равен углу 3. Отсюда следует, что треугольник OA2 A3 равнобедренный, и, следовательно, равны отрезки OA3 и OA2.
Треугольники OA2 A3 и треугольник OA2 A1 равны по двум сторонам и углу между ними (A2 A3 = A1 A3, A2 O – общая сторона и угол 3 равен углу 4, следовательно, OA3 = OA1.
Аналогично можно доказать, что OA4 = OA2, OA5 = OA3 и так далее. Таким образом, доказали, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром в точке О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника.
Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Пусть A1 A2 A3 … An – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности.

В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что равны треугольники OA2 A3, OA1 A2 … OA1 An. Поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны, то есть OH1 = OH2 = ⋯OHn. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом OH1 проходит через точки H1, H2, … Hn и касается сторон многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Докажем теперь единственность окружности. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом OH1 есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник. Тогда её центр O1 равноудален от сторон многоугольника, то есть точка O1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, то есть равен OH1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.
Так как в равнобедренных треугольниках OA2 A3, OA1 A2 … OA1 An проведенные высоты OH1, OH2, … OHn являются и медианами, то имеет место следствие 1: окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
При доказательстве теоремы о вписанной в правильный многоугольник окружности было установлено следствие 2: центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Докажем теперь единственность окружности. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, A1, A2, A3. Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1 A2 A3 … An можно описать только одну окружность. Теорема доказана.
Рассмотрим задание из открытого банка ОГЭ.
ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол EAI. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол правильного девятиугольника, воспользовавшись выведенной формулой нахождения угла.
1) αn = (n — 2)/n ∙ 180°
α9 = (9 — 2)/9 ∙ 180° = 140°
Получаем, что угол правильного девятиугольника равен 140°.
Рассмотрим выпуклый шестиугольник AEFGHI. В нем четыре угла F, G, H, I по 140°, а оставшиеся углы равны между собой в силу того, что девятиугольник правильный.
Воспользуемся известной формулой для нахождения суммы углов выпуклого шестиугольника AEFGHI:
2) Sn = (n — 2) ∙ 180°
S6 = (6 — 2) ∙ 180° = 720°.
Получаем, что сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720°.
Для нахождения искомого угла нужно найти половину разности 720° и четырех углов по 140°.
3) ∠EAI = (720° — 4 • 140°)/2 = 80°
Ответ: 80°