Урок 28. Логарифмические неравенстваКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №28.Логарифмические неравенства.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Понятие логарифмического неравенства
2) Основные способы решения логарифмических неравенств
Глоссарий по теме
Логарифмические неравенства – это неравенства вида 
, где 
и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Решение логарифмических неравенств:
(знак неравенства сохраняется)
(знак неравенства меняется)
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
Дополнительная литература:
Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.
Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Логарифмические неравенства – это неравенства вида 
, где 
и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если 
и убывает, если 
.
(знак неравенства сохраняется)
(знак неравенства меняется)
Пример 1.
Решить неравенство
.
Решение:
Основание логарифма 3 > 1, значит используем 1 схему.
; 
; 
.
Ответ: (6; 14)
Пример 2.
Решить неравенство 
.
Решение:
Выполним преобразование правой части: заменим 
и используем свойство суммы логарифмов.
Основание логарифма 
, значит используем 2 схему.
;
; 
; 
.
Ответ: 
Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.
Задача 1. Решите неравенство
.
Решение:
Замена: 
.
Рассмотрим функцию: 
.
Нули: 
Обратная замена: 
Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 >1.
; 
; 
;
Ответ: 
Задача 2. Решите неравенство
.
Решение:
;
Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.
;
Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.
1. 
; 
; 
;
; 
.
2. 
.
; 
; 
;
; 
.
Ответ: 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства 
.
Решение:
- Упростим левую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество:
- Приведем подобные слагаемые.
- Разделим неравенство на 2. (2 > 0, знак неравенства не меняем):
- Основание логарифма 0 <0,5< 1, значит логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняем:
; 
; 
Ответ: 3.
№2Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства
.
Решение:
- Двойное неравенство равносильно системе неравенств:
- Основание логарифма 0 <0,5< 1, значит логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняем:
; 
; 
; 
.
Ответ: 1.