Урок 31. Решение задач на движение по теме «Движение»

Конспект
Разберём решение нескольких задач на движение.
Задача 1.
Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС с вершинами А (–1; 2),
В (5; –1), С (2; –3) относительно точки О (3; 1). Найдите координаты вершин А1, В1 и С1.

Решение.
1) Так как АО = ОА1, то точка О – середина АА1.
Воспользуемся формулой координат середины отрезка и вычислим координаты точки А1:
xO = (xА + xА1)/2;
yO = (yА + yА1)/2
3 = (-1 + xА1)/2;
1 = (2 + yА1)/2
xА1 = 7;
yА1 = 0
А1 (7; 0).
Аналогично находятся координаты точек В1 и С1.
2) ВО = ОВ1, т.е. точка О – середина ВВ1.
xO = (xВ + xВ1)/2;
yO = (yВ + yВ1)/2
3 = (5 + xВ1)/2;
1 = (-1 + yВ1)/2
xВ1 = 1;
yВ1 = 3
В1 (1;3)
3) СО = ОС1, т.е. точка О – середина СС1.
O = (xC + xC1)/2;
yO = (yC + yC1)/2
3 = (2 + xC1)/2;
1 = (-3 + yC1)/2
xC1 = 4;
yC1 = 5
С1 (4;5)
Ответ: А1 (7;0), В1 (1;3), С1 (4;5).
Задача 2.
В результате параллельного переноса точка А (–1; 3) переходит в точку А1 (4; 5), а точка В (3; –1) – в точку В1. Найдите координаты точки В1.

Решение.
1) Точки А и А1 задают вектор параллельного переноса. Найдём его координаты.
(AA1) ⃗- вектор параллельного переноса.
(AA1) ⃗ (xA1) — xA; yA1) — yA),
(AA1) ⃗ (5; 2).
2) Зная координаты вектора переноса и координаты точки В, найдём координаты её образа – точки В1.
xB1 = xB + xAA1 ⃗;
xB1 = 3 + 5 = 8;
yB1 = yB + yAA1 ⃗;
yB1 = -1 + 2 = 1.
Ответ: В1 (8; 1).
Задача 3.
Окружность задана уравнением (x — 3)2 + (y + 2)2 = 16. Она повёрнута на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А (4; –1). Напишите уравнение полученной окружности.

Решение.
1) Центром заданной окружности является точка О с координатами (3; –2); радиус окружности равен 4.
На координатной плоскости изобразим данную окружность и определим, в какую точку отобразится центр окружность при заданном повороте.
Центр данной окружности – точка О при повороте на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А отобразится в точку О1 : О (3; –2) → О1 (5; –2).
2) Так как поворот является движением, то есть расстояние между точками сохраняется, то радиус заданной окружности и её образа одинаковый.
R = R1 = 4.
3) Зная координаты центра и радиус, можно записать уравнение полученной окружности.
О1 (5; –2) – центр окружности, R1 = 4 – радиус окружности.
Уравнение окружности: (x — 5)2 + (y + 2)2 = 16.
Ответ: (x — 5)2 + (y + 2)2 = 16.