Урок 41. Извлечение корня из комплексного числа

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №41. Извлечение корня из комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие корня из комплексного числа;

2) алгоритмы извлечения корня из комплексного числа;

3) пример извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Глоссарий по теме

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zn=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Все n корней zk лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zn=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Доказательство. Пусть ω=|ω|∙(cosφ+isinφ), число z будем искать в виде

z=|z|∙(cosα+isinα).

Преобразуем уравнение zn=ω, используя формулу Муавра:

|z|n(cosnζ+isinnζ)=|ω|∙(cosθ+isinθ).

Отсюда вытекают равенства:

|z|n=|ω|, nζ= θ+2πk, k- целое,

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение , тогда как его аргумент , k- целое, может принимать различные значения при разных k. При этом значениям k= 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. При k=n+1 получим значение корня, что и при k=1, и т.д.

Таким образом, число различных значений корня равно n- это

, где k=0, 1, 2,…, n-1 что и требовалось доказать.

Все n корней zk лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Пример 1. Найдите все корни n-ой степени из действительного числа x>0.

Решение. Если х- положительное действительное число, то |x|=x, θ=arg x=0. Формула корней в этом случае дает ответ:

, где k=0, 1, 2,…, n-1.

При k=0 получим – это арифметический корень. При четном n=2m имеется еще один дейсвтиельный корень., получающийся при k=m. (ζ= arg zm=π):

Корни n-ой степени из 1 часто обозначают через εk, k= 0, 1, 2, …, n-1. Согласно предыдущему примеру:

Пример 2. Вычислите корни третьей степени из комплексного числа 2+2i.

Решение: Найдем тригонометрическую форму данного числа:

По формуле корней из комплексного числа имеем:

, где k пробегает значения 0, 1, 2. Запишем полученные корни:

Используя формулы для косинуса и синуса разности углов, получаем:

Ответ: ; -1+i; .

Немного иначе извлекаются корни из комплексных чисел, аргумент которых не приводится к виду , где m, n – целые числа.

Пример 3. Найдите

Решение. Пусть ω=3+4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ:

Пример 4. Выполнить операцию извлечения корня z3 для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления: .

Решение: Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ). По условию . Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):. Подставим полученные значения и получим:

Для k=0 получаем:

Для k=1 получим:

Для k=2 получим:

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: множественный выбор

Найдите

Выберите верные ответы из предложенных:

1. 2+i
2. -2+i
3. -2-i
4. 2-i

Решение. Пусть ω=3-4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ: 2+i; -2-i

Верные ответы: 1, 3

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно произведение: (5 + 3i)∙(1 — 2i)=______

Решение:

((5 + 3i) · (1 — 2i) = 5·1 — 5·2i + 3·1i — 3·2i2 = 5 — 10i + 3i + 6 =11 — 7i

Ответ: 11-7i