Урок 46. Однородные тригонометрические уравнения

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №46. Однородные тригонометрические уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени.

2) Рассмотреть решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

3) Рассмотреть решение более сложных тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

1. Арккосинусом числа называется такое число α, что: . Арккосинус числа m обозначают: .
2. Арксинусом числа называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .
3. Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают: .
4. Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и . Арккотангенс числа n обозначают:
5. Уравнение вида:

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, коэффициенты.

6. Универсальная тригонометрическая подстановка — это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М. 2014, 712 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, как решаются простейшие тригонометрические уравнения, а также тригонометрические уравнения, которые могут быть сведены к квадратным, дробно-рациональным или алгебраическим степени выше второй с помощью замены переменной. Но это лишь маленькое количество тригонометрических уравнений. Как, например, быть в том случае, когда тригонометрическое уравнение выглядит, например, так:

.

Для этого нам нужно рассмотреть некоторые вспомогательные приемы решения уравнений, а также формулы преобразования тригонометрических выражений.

Задание:

Как Вы думаете, какие факты и формулы мы будем использовать при решении этого уравнения?

Ответ: определение тангенса, формулу синуса двойного аргумента.

1. Итак, рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение.

Напомним определение однородного уравнения

Определение

Уравнение вида:

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, коэффициенты.

В зависимости от значения показателя n, мы можем получить однородное уравнение первой, второй или более высокой степени.

Например, уравнение является однородным, а уравнение однородным не является.

2. Теперь перейдем к рассмотрению однородных тригонометрических уравнений.

Если функции f и g это синус и косинус одного и того же аргумента, то мы получим тригонометрическое однородное уравнение.

Рассмотрим сначала однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Запишем его в общем виде: (1).

Разделим это уравнение на (или на ) и получим: .

Решать такие уравнения мы умеем: , .

Заметим, что, решая это уравнение, мы выполняли деление уравнения на выражение с переменной. Так как это действие не является равносильным, проверим, не потеряли ли мы корни.

Если , то . То есть при подстановке в уравнение (1) таких значений х, при которых , оно не обратиться в верное числовое равенство, а значит такие х корнями исходного уравнения не являются, и значит наше действие не приведет к потере корней.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

.

Ответ:

Решим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Общий вид такого уравнения:

(2)

Так же, как и уравнение (1), разделим его на наибольшую степень косинуса х.

Так же, как и при решении уравнения (1), мы должны убедиться в том, что при делении уравнения на выражение с переменной мы не потеряли корней. Это не произойдет в том случае, если .

После деления мы получили квадратное уравнение относительно тангенса х, которое и решаем известными способами.

.

При решении этого уравнения мы можем вводить новую переменную , но можем этого и не делать.

.

В зависимости от значения дискриминанта этого квадратного уравнения оно может иметь от 0 до 2 корней. И, соответственно, исходное уравнение может иметь две серии решений, одну или ни одной.

Рассмотрим пример.

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

.

.

Ответ: .

Даже если исходное тригонометрическое уравнение второй степени не является однородным, можно его преобразовать к такому виду.

Рассмотрим это сначала на примере уравнения второй степени.

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:

Сначала умножим 3 на тригонометрическую единицу, то есть на выражение

(. Мы получим:

Теперь преобразуем полученное уравнение к однородному виду:

Теперь решим полученное однородное уравнение:

.

.

Ответ:.

3. Теперь рассмотрим, как можно привести к однородному уравнение вида

, то есть левая часть которого является однородной первой степени, а в правой стоит число.

Рассмотрим это на примере.

Пример 4.

Решение:

Используем формулы двойного аргумента:

Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.

.

.

Ответ:.

Заметим, что подобные уравнения можно решить и по-другому, а именно, применив формулу вспомогательного аргумента:

Рассмотрим решение примера 4 этим способом.

Пример 4-а.

Решение:

Преобразуем левую часть:

Ответ:

Мы видим, что результат, полученный при решении разными способами, кажется разным. Но на самом деле в тригонометрии одно и то же число может быть записано разными способами.

Можно сказать, что первый способ в этом случае приводит к более короткому и красивому результату.

Решите уравнение

Решение:

В такой записи уравнение не является однородным.

Используем формулу синуса двойного аргумента.

Теперь уравнение однородное.

Решим его.

, .

Ответ: .

Решить уравнение

1) с помощью формулы вспомогательного аргумента

Решение

Ответ:

2) с помощью формул синуса и косинуса двойного аргумента

Решение

Ответ:

3) Решите уравнение:

Решение

Ответ:

4. Рассмотрим теперь решение тригонометрических уравнений с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Она называется универсальной, так как позволяет любое уравнение вида

(*), где рациональная функция, свести к рациональному алгебраическому уравнению.

Универсальная тригонометрическая подстановка – это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

То есть если сразу обозначить , то уравнение (*) примет вид: . А так как сама функция F является рациональной, то и получающееся уравнение будет рациональным алгебраическим.

Рассмотрим пример 5.

Решить уравнение .

Решение:

Область определения исходного уравнения:

Преобразуем исходное уравнение:

или

Используем универсальную тригонометрическую подстановку.

Если , то получим уравнение:

Решим его.

, .

Ответ: .

Заметим, что когда мы используем универсальную тригонометрическую подстановку, у нас появляется тангенс половинного угла, который не всегда определен. Поэтому мы можем потерять корни. Нужно проверить.

определен для всех .

Так как эти числа, не принадлежат области исходного уравнения, то мы не потеряем корней.

Решите уравнение

Рассмотрим решение уравнения

(**)

Решение:

Найдем область допустимых значений:

Теперь используем универсальную тригонометрическую подстановку и формулу тангенса суммы аргументов.

Область допустимых значений полученного уравнения уже, чем исходного:

.

Решим полученное уравнение:

.

Но необходимо проверить те числа, которые выпали из области определения после использования универсальной тригонометрической подготовки.

Это числа вида .

Подставим π в (**): верное равенство. Это означает, что числа вида тоже являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, получается ответ.

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1.

Даны уравнения.

Запишите номера однородных уравнений

Ответ: однородными являются 1), 5) , 7) и 8) уравнения.

№ 2.

Даны уравнения.

Распределите их по группам в зависимости от того, являются они однородными или не являются.

№ 3.

Даны уравнения.

Выделите цветом уравнения, которые могут быть приведены к однородному

Ответ:

№ 4.

Автоматически заполняемый кроссворд.

Решите уравнения. Укажите значение k, при котором его корень становится больше .

1)

k=1

Слово МИНУС

2)

k=1

Слово КОРЕНЬ

3)

k= 2

Слово РАВЕНСТВО

№ 5.

Выберите простейшие тригонометрические уравнения, которые получаются при решении данного уравнения

Ответ: 16

№ 6.

Подчеркните простейшее тригонометрическое уравнение вида , которое получается при решении данного уравнения

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ: 3

№ 7.

Выберите из списка простейшие тригонометрические уравнения вида , которые получаются при решении данного уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ: 25

№ 8.

Решите уравнение

Перетащите в ответ составляющие

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ:

№ 9*.

Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнения. Определите, сколько корней имеет каждое из этих уравнений на интервале (-π; π).

Ответ: 4

Слово ПРОМЕЖУТОК

Ответ: 20

Слово ОТРЕЗОК

Ответ: 8

Слово ИНТЕРВАЛ

№ 10.*

Заполните пропуски в решении.

Растащите элементы по пропускам

Домножим второе и третье слагаемые на ____________

____+_____

Разделим уравнение на ___________

___+____-1=0

После решения вспомогательного уравнения получим:

Получим ответ:

Элементы для перетаскивания

тригонометрическую единицу

Ответ:

Домножим второе и третье слагаемые на тригонометрическую единицу

Разделим уравнение на

Получим ответ:

№ 11.*АЗК

Решите уравнение. Впишите в формулу ответа правильные коэффициенты.

Ответ:

№ 12.**

Решите уравнение.

Выберите серии, из которых состоит решение

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 3, 5, 6

№ 13.**

Автоматически заполняемый кроссворд

Выберите номер наименьшего положительного корня

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 2

Слово РЕШЕНИЕ

Выберите номер наименьшего положительного корня

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Решение:

Умножим второе и третье слагаемые на тригонометрическую единицу:

Разделим уравнение на

Вспомогательное уравнение:

Оно имеет единственный корень t=1

Ответ: 5

Слово ТРИГОНОМЕТРИЯ

Выберите номер правильного ответа

1) 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 4

Слово АЛГЕБРА

№ 14.**АЗК

Решите уравнение. Впишите в формулу ответа правильные коэффициенты.

Решение:

Разделим обе части уравнения на

Введем новую переменную: .

Вспомогательное уравнение:

Так как t неотрицательное, то t=1.

Поэтому

1)

2)

3)

Ответ:

Проверочная работа:

№ 1.

А)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ:

1) a=1 слово ТРИГОНОМЕТРИЯ

2) b=12 слово КОСИНУС

3) c=1 слово МИНУС

4) d=2 слово КВАДРАТ

Ответ:

Б)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ:

1) a=1 слово УРАВНЕНИЕ

2) b=6 слово СИНУС

3) c=1 слово СТЕПЕНЬ

4) d=2 слово ТОЖДЕСТВО

Ответ:

№ 2.

А)Решите уравнение. Выберите наибольший отрицательный корень.

Б) Решите уравнение. Выберите наименьший положительный корень

Ответ:

№ 3.

А)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ: а = 30 слово ДЕЛИМОЕ, b = 2 слово ДЕЛИТЕЛЬ, c = 5 слово ЧАСТНОЕ

Б)Автоматически заполняемый кроссворд

Решите уравнение. Введите значения коэффициентов

Ответ: а = 18 слово МНОЖИТЕЛЬ, b = 2 слово ПРОИЗВЕДЕНИЕ, c = 3 слово УМНОЖЕНИЕ