Урок 48. Равенство дробей

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 48

Равенство дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– обыкновенная дробь;

– числитель, знаменатель обыкновенной дроби;

– сократимая, несократимая дробь;

– равные дроби;

– основное свойство дроби.

Тезаурус

Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

Несократимая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1).

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов.

Эти слова как нельзя кстати походят к теме нашего занятия, на котором мы будем устанавливать между, казалось бы, разными дробями равенство, хоть и не вполне очевидное с первого взгляда.

Итак, выясним, какие дроби можно назвать равными.

Для начала нарисуем отрезок. Далее разделим его на две части. Затем каждую из половинок разделим ещё на две части.

Получается, что весь отрезок поделён на четыре части. Если теперь сложить две части из четырёх, то получится ровно половина отрезка, которая в виде обыкновенной дроби будет записана как одна вторая.

Получается, что одна вторая это тоже самое, что и две четвёртых, т. е. это равные дроби.

Возьмём торт и разделим его на 10 частей.

Половина торта – это 5 частей. В виде обыкновенной дроби получается, что частям торта. Отсюда получается так называемое основное свойство дроби, которое заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

С помощью этого свойства всегда получаются равные дроби. Например,

Аналогично, представим семь в виде дроби:

Если возьмём число один, представим его в виде дроби, то получим:

Получается, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Это свойство можно применить и в обратном порядке, в этом случае говорят, что дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него числитель и знаменатель.

В этом случае тоже получается равная дробь. Такие дроби называются сократимыми.

Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице. Например,

Или возьмём дробь :

Рассмотрим ещё один пример, возьмём дробь :

Стоит отметить, что общий множитель числителя и знаменателя можно найти как их НОД. Например,

Стоит отметить, что сокращать дроби можно постепенно, эти действия всё равно приведут к нужному результату.

Но дроби не всегда можно сократить.

Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1), то такая дробь называется несократимой.

Например, ; – несократимые дроби.

Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Например, дробь равна несократимой дроби , а дробь равна несократимой дроби .

Отметим ещё одно свойство: если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например, возьмём дробь . Мы знаем, что 45 делится на девять, значит, .

Решим задание, связанное с сокращением дробей.

Укажите все общие делители, НОД числителя и знаменателя дроби и сократите дробь.

Решение: начнём с того, что определим общие делители числителя и знаменателя дроби, разложив их на множители:

Общие делители у 66 и 90 – это числа 1, 2, 3, 6.

НОД (66; 90) = 6

Сократим дробь. Так как НОД (66; 90) = 6, то разделим числитель и знаменатель на 6 и получим:

Ответ: общие делители – это числа 1, 2, 3, 6.

НОД (66; 90) = 6, .

Тренировочные задания

№ 1. Сократите дробь .

Решение: для решения этой задачи достаточно определить НОД (15; 20) = 3, это и есть число, на которое будем делить и числитель, и знаменатель, поэтому .

Ответ: .

№ 2. На полке лежат 20 книг. Взяли 4 книги. Какой дробью можно выразить взятую часть книг?

Варианты ответа: ; ; .

Решение: для решения этой задачи сначала найдём дробь, равную взятой части. Это будет дробь . Далее посмотрим на варианты ответов – такой дроби нет, следовательно, нужно сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому получаем .

Ответ: .