Урок 5. Средняя линия трапеции

В трапеции АВСD отрезки АD и ВC являются основаниями трапеции, а отрезки АВ и СD – боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется её средней линией. Докажем, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказать: МК ∥ AD, MK = 1/2 (AD + BC).
Доказательство.
Выразим вектор MK ⃗ через сумму векторов сначала одним, а затем другим способом.

(MK) ⃗= (MB) ⃗+ (BC) ⃗+ (CK) ⃗

(MK) ⃗= (MA) ⃗+ (AD) ⃗+ (DK) ⃗
Сложим почленно эти два равенства и упростим получившееся выражение.
2(MK) ⃗= ((MB) ⃗+(MA) ⃗) + ((BC) ⃗+(AD) ⃗)+((CK) ⃗+ (DK) ⃗);
2(MK) ⃗= 0 ⃗+ ((BC) ⃗+ (AD) ⃗) + 0 ⃗ = (BC) ⃗+ (AD) ⃗.
Выразим вектор МК через векторы (BC) ⃗и (AD) ⃗:
(MK) ⃗= 1/2 ((BC) ⃗+ (AD) ⃗)
(BC) ⃗↑↑ (AD) ⃗, тогда (MK) ⃗ ↑↑ (AD) ⃗, т.е. МK ∥ АD.
Выразим длину вектора (MK) ⃗:
2|(MK) ⃗ | = |(BC) ⃗+ (AD) ⃗ | = |(BC) ⃗ | + |(AD) ⃗ | = ВС + AD
MK = 1/2 (AD + BC)
Следовательно, длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований.