Урок 7. Перпендикулярные прямые

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 7

Перпендикулярные прямые

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Перпендикулярные прямые.
• Способы построения прямых углов на местности.
• Экер.
• Теодолит.
• Свойство перпендикулярных прямых.

Тезаурус:

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.

Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.

Введём понятие «перпендикулярные прямые».

Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.

∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),

∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),

∠2=180° – 90° = 90°,

∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),

∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Обозначение перпендикулярных прямых:

а ┴ b

Построим перпендикулярные прямые.

Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.

Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Дано:

АА1┴РQ

ВВ1┴РQ.

Доказать: АА1 и ВВ1 не пересекаются.

Доказательство.

Рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1, аналогично, луч QB наложится на луч QB1.

Предположим, что прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке М.

Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М1.

Через точки М и М1 проходят две прямые АА1 и ВВ1, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА1 и ВВ1 один не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.

Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.

Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.

Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.

Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).

Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.

Тренировочные задания.

1. Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:

∠АОВ = 90°;

∠АОВ = ∠КОВ +∠АОК, следовательно, ∠АОК = ∠АОВ – ∠КОВ = 90° – 52° = 38°.

Ответ: ∠АОК = 38°.

2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.

Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°

По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.

∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°

50° + 2 · ∠МОВ = 90°

∠МОВ = (90° – 50°) : 2

∠МОВ = 20°

Ответ: 20°.