Урок 1. Координаты в пространстве Система координатКонспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок № 1. Координаты в пространстве. Система координат
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Прямоугольная система координат в пространстве.
- Координаты вектора, радиус-вектор.
- Координаты середины отрезка, длина вектора, расстояние между точками.
Основная литература:
Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс — М.: Бином, 2010 — с. 130-148
Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение — 13-е изд-е. — М.: Просвещение, 2014. — с. 51-52
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. — М.: Просвещение, 2010. — с. 259-270.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Прямоугольная система координат в пространстве задана, если выбрана точка – начало координат, через эту точку проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и задана единица измерения отрезков (рис. 121). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.
Координаты вектора
Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через 
единичный вектор оси абсцисс, через 
– единичный вектор оси ординат и через 
– единичный вектор оси аппликат (рис. 124). Векторы 
, 
, 
– назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор a и можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде
причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
Коэффициенты х, у и z в разложении вектора 
по координатным векторам называются координатами вектора 
в данной системе координат. Координаты вектора 
будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: 
{х; у; z}.
Нулевой вектор можно представить в виде 
так как все координаты нулевого вектора равны нулю.
Так как нулевой вектор можно представить в виде 
то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны, т. е. если векторы 
{х1, y1, z1} и 
{х2, y2, z2) равны, то х1 = x2, y1 = y2 и z1 = z2
Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
1)Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если 
{х1, у1, z1} и 
{х2, у2, z2} — – данные векторы, то вектор 
+ 
имеет координаты {х1+х2, у1 + у2, z1 + z2}.
2)Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если 
{х1, y1, z1} и b{х2 у2; z2} – данные векторы, то вектор 
– 
имеет координаты {х1 – х2, y1 – y2, z1 – z2}.
3)Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если 
{х; у; х} – данный вектор, α – данное число, то вектор α
имеет координаты {αх; αу; αz).
1)Признак коллинеарности векторов: Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них был произведением другого на некоторое число.
Следствие: ненулевой вектор 
коллинарен вектору 
тогда и только тогда, когда существует такое число α, что 
=α
.
Определение: Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
2)Признак компланарности трех векторов: если вектор 
можно разложить по векторам 
и 
, т. е. представить в виде 
= x 
+ y
, где x и y — – некоторые числа, то векторы 
, 
и 
компланарны.
Определение: Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Рис. 129
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Длина вектора 
вычисляется по формуле:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Выделите цветом верный ответ:
Дано: А (2; –1; 0), В (–3; 2; 1), С (1; 1; 4); CD = -2AB.
Найти: координаты точки D.
Варианты ответов:
(3; -1; 8)
(11, –5, 2)
(-6; 3; 11)
(8; 4; 2)
Решение:
Пусть D (х; у; z)
поэтому 
18
Правильные ответы:
(3; -1; 8)
(11, –5, 2)
(-6; 3; 11)
(8; 4; 2)
Пример 2.
Дано: координаты точек: А (3; –1; 2), В (x; 
); координаты вектора
Рис. 127
AB{5; 8; 1}
Найти: x, у, z
Решение:
Решаем уравнения и получаем: х=8; у=
; z=3, z=-1
Ответ: х=8; у=
; z=3, z=-1