Урок 1. Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точкиНекоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.
Дадим геометрическое определение вектора.
Вектором называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
На чертежах вектор изображается отрезком со стрелкой, указывающей конец вектора. Вектор обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец.
Вектор можно обозначить и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.
Длиной вектора называется длина отрезка, который изображает этот вектор. Для обозначения длины вектора используют вертикальные скобки.
Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым вектором. Нулевой вектор изображается точкой и обозначается двумя одинаковыми буквами или нулём со стрелкой над ним. Длина нулевого вектора равна нулю: |0 ⃗|= 0.
Введём понятие коллинеарных векторов. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Если ненулевые коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, то такие векторы будут сонаправленными. Если их направления противоположны – они называются противоположно направленными.
Для обозначения сонаправленных и противоположно направленных векторов существуют специальные обозначения:
— m ⃗ ↑↑ р ⃗, если векторы m ⃗ и р ⃗ сонаправлены;
— m ⃗ ↑↓ n ⃗ , если векторы m ⃗ и n ⃗ противоположно направлены.
Рассмотрим движение автомобиля. Скорость каждой его точки является векторной величиной и изображается направленным отрезком. Так как все точки автомобиля движутся с одинаковой скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости разных точек, имеют одинаковое направление и их длины равны. Этот пример даёт нам подсказку, как определить равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов можно записать с помощью знака равно: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Если точка Р начало вектора р ⃗, то считают, что вектор р ⃗ отложен от точки Р.
Докажем, что от любой точки О можно отложить вектор, равный данному вектору р ⃗, и притом только один.
Доказательство:
1) Если р ⃗ – нулевой вектор, то ОО ⃗ = р ⃗.
2) Если вектор р ⃗ ненулевой, точка Р – начало этого вектора, а точка Т – конец.
Проведём через точку О прямую, параллельную РТ. На построенной прямой отложим отрезки ОА1 и ОА2, равные отрезку РТ.
Выберем из векторов ОА1 и ОА2 вектор, который сонаправлен с вектором р ⃗. На нашем чертеже это вектор ОА1. Этот вектор будет равен вектору р ⃗. Из построения следует, что такой вектор единственный.