Урок 10. Многочлены от одной переменной. Схема Горнера

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №10. Многочлен от одной переменной. Схема Горнера.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) что такое одночлен и многочлен;

2) основные действия над многочленами;

3) правило деления многочленов «углом»;

4) схему Горнера.

Глоссарий по теме

Одночлен- это произведение чисел, переменных и их степеней.

Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член — одночлен стандартного вида и многочлен не содержит подобных членов.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим многочлены

7х²-6х-2

-9х³+2х²-3х

х⁵+6

Эти многочлены записаны в стандартном виде.

Давайте вспомним, что такое многочлен стандартного вида.

Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член — одночлен стандартного вида и многочлен не содержит подобных членов.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1. каждый член многочлена представить в стандартном виде
2. привести подобные члены многочлена.

Пример 1

Привести многочлен к стандартному виду 3а·5в+3ав+2а·(-4в)+в·в

Воспользуемся алгоритмом, который мы рассмотрели:

1. каждый член многочлена представляем в стандартном виде, т.е. выполним действия умножения, получим:

15ав+3ав-8ав+в²

1. Приведем подобные, получим:

в²+10ав

Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т.е. степени переменной постепенно уменьшаются.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида- в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Многочлен от одной переменной обозначается следующим образом: Р(х).

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Пример 2

Р(х)=х³+2х²-7х-2

Корнем данного многочлена будет число 2, т.к.

Р(2)=2³+2·2²-7·2-2=0.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и возводить в степень. Иногда выполнимо деление многочлена на многочлен. А именно, если существует такой многочлен S(x), что P(x)=Q(x)·S(x), то говорят, что много член Р(х) делится на многочлен Q(x) и называют Р(х)- делимым, Q(x)- делителем, S(x)- частным.

Пример 3

Р(х)=х³-3х²+5х-15 делится на Q(x)= х²+5, т.к. Р(х) можно разложить на множители

х³-3х²+5х-15= (х²+5)(х-3)

Частным является S(x)=х-3.

Если же многочлен Р(х) не делится на многочлен Q(x), то рассматривают деление с остатком.

Свойство: для любых двух многочленов Р(х) и Q(x) таких, что степень Р(х) не меньше степени Q(x), существует одна и только одна пара многочленов S(x) и R(x) таких, что справедливо тождество

Р(х)=Q(x)·S(x)+R(x),

Причем степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x). (многочлен R(x) называют остатком).

При делении многочленов стандартного вида используют правило деления «углом», аналогичное правилу деления многозначных чисел.

Пример 4

Разделим Р(х)= 3х⁴+2х³+70х²+3х-4 на Q(x)= x²+5x+1.

Выполним деление «углом»:

Итак, S(x)=3x²-13x+132- частное, R(x)= -644х-136- остаток.

При этом выполняется тождество

3х⁴+2х³+70х²+3х-4= (х²+5х+1)·(3х²-13х+132)+(-644х-136).

Рассмотрим еще один метод деления многочленов- схему Горнера.

Схема Горнера для деления многочлена — это алгоритм упрощения вычисления значения многочлена Р(x) при определённой величине x = x0 методом деления многочлена на одночлены (многочлены 1ой степени). Каждый одночлен включает в себя максимум один процесс умножения и один процесс сложения. Результат, полученный из одного одночлена, прибавляют к результату, полученному от следующего одночлена, и так далее. Такой процесс деления также называют синтетическим делением.

Чтобы объяснить вышесказанное, давайте перепишем многочлен в таком виде:

Р(x0) = a0 + a1x0 + a2x02 + … + anx0n

Это также может быть записано как:

Р(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + x0(a3 + … + (an-1 + anx0)….)

Алгоритм, предложенный данной схемой, основан на нахождении значений одночленов, образованных выше, начиная с тех, которые заключены в большее количество скобок и, двигаясь наружу, для нахождения значения одночленов во внешних скобках.

Алгоритм приводится в действие, следуя нижеизложенным шагам:

1. Дано k = n
2. Пусть bk = ak
3. Пусть bk — 1 = ak — 1 + bkx0
4. Пусть k = k — 1
5. Если k ≥ 0, то вернуться на шаг 3, иначе конец.

Этот алгоритм может быть также графически визуализирован, принимая во внимание данный многочлен 5ой степени:

Р(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5

значение которого находится как x = x0, путём перестановки его следующим образом:

Р(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + x0(a3 + x0(a4 + a5x0))))

Другим способом представить результаты используя этот алгоритм можно в виде данной ниже таблицы:

Пример 5 

Разделить многочлен x⁴+3x³+4x²−5x−47 на x+3 по схеме Горнера.

Сразу оговорим, что выражение x+3 нужно представить в форме x−(−3). В схеме Горнера будет участвовать именно −3, так как степень исходного многочлена x⁴+3x³+4x²−5x−47 равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

x⁴+3x³+4x²−5x−47 =(x+3)(x³+0⋅x²+4x−17)+4=(x+3)(x³+4x−17)+4

В этой ситуации остаток от деления x⁴+3x³+4x²−5x−47  на x+3 равна 4. Или, что то самое, значение многочлена x⁴+3x³+4x²−5x−47  при x=−3 равно 4. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой x=−3 в заданный многочлен:

x⁴+3x³+4x²−5x−47 =(−3)4+3⋅(−3)3−5⋅(−3)−47=4.

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд.