Урок 10. Определение производной. Физический смысл производнойКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Определение производной;
2) Физический смысл производной;
2) Приращение функции;
3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.
Глоссарий по теме
Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.
Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.
Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.
Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.
f(x1)-f(x0)=Δy, значит,
Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)
Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9
Решение:
Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1
Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39
Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39
Пример 2.
Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1
Решение:
Δx= x1−x0=2,1-2=0,1
Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41
Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41
Пример 3.
Найдем приращение Δf функции 
в точке x0,если приращение аргумента равно x0.
Решение:
по формуле (1) находим:
.
Ответ: 
.
С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то
Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).
Аналогично выражение 
называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Обозначение: y’ или f’(x)
Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Схема вычисления производной функции
- Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:
∆y=y(x+∆x)-y(x)
- Разделить приращение функции на приращение аргумента:
- Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Пример 4.
Вычислить производную функции y=x2
Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:
- ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²
Ответ: y’=2x.
Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).
Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.
Пример 5.
Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.
Решение:
найдем ∆t= 1-0,8=0,2
S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)
S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)
.
Ответ: 
.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.
Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.