Урок 12. Многогранные углы

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №12. Многогранные углы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

• Понятия трехгранного и многогранного углов;
• Теорема о сумме плоских углов многогранного угла.

Глоссарий по теме

Три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости образуют трехгранный угол ОАВС.

Свойство трехгранного угла: каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.

Утверждение: для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра.

Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1). Каждая пара лучей образует плоский угол. Три угла АОВ, ВОС, СОА образуют трехгранный угол ОАВС. Каждый из углов АОВ, ВОС, АОС является плоским углом этого трехгранного угла. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.

(Рис. 1)

Рассмотрим фигуру, составленную из углов А1ОА2, А2ОА3, и так далее до АпОА1 и их внутренних областей так, что смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные углы не имеют общих точек (рис. 2). Такая фигура называется многогранным углом. Такой угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

(Рис. 2)

Теорема.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной О и проведем плоскость, пересекающую все его ребра в некоторых точках А1, А2, …, Аn. Многоугольник А1А2…Аn — выпуклый (рис. 2).

Найдем сумму плоских углов. Каждый плоский угол можно выразить через сумму углов треугольника, который образуется парой ребер и плоскостью, пересекающей все ребра многогранного угла. Далее вынесем из под скобок 180 градусов и перегруппируем в скобках углы так, чтобы в скобках была сумма плоских углов трехгранного угла, образованного тремя соседними лучами.

Сумма плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, поэтому каждая сумма углов в скобках не больше, чем соответствующий им третий плоский угол. Поэтому искомая сумма не превышает 360 градусов.

Что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Дан тетраэдр ABCD (рис. 3). В этом тетраэдре углы DAB, DAC и ACB прямые. Ребра AC и CB равны 10 сантиметрам, отрезок DB равен 10 сантиметров. Необходимо найти двугранный угол ABCD.

Решение

По условию прямая DA перпендикулярно прямым AB и AC. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая DA перпендикулярна ABC.

(Рис. 3)

Тогда прямая DA – перпендикуляр к плоскости ABC. Прямая DC – наклонная, а AC – проекция. По условию прямая AC перпендикулярна прямой BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная DC перпендикулярна прямой BC. Это означает, что угол ACD является линейным углом искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника DCB найдем DC по теореме Пифагора.

Из прямоугольного треугольника ACD теперь можно выразить косинус угла ACD.

= 60°.

Ответ: 60 градусов.

Пример 2

В трехгранном угле два плоских угла равны 115.8º и 97º. Если величина третьего плоского угла задается целым числом градусов, то ее наибольшее значение равно?

Решение

Обозначим величину третьего плоского угла за X. Воспользуемся теоремой о сумме плоских углов многогранного угла: сумма плоских углов многогранного угла меньше 360º. Следовательно, можно записать неравенство:

X + 115.8+ 97 < 360

X < 147.2

Получаем, что наибольшее целое значение X может принимать 147º. Осталось проверить не нарушает ли такое значение свойство трехгранного угла: каждый плоский трехгранный угол меньше суммы других плоских углов. Это свойство можно записать в следующие неравенства:

97 < 147 + 115.8

115.8 < 147 + 97

147 < 97 + 115.8

Все неравенства выполняются.

Ответ: 147º

Пример 3

Все плоские углы трёхгранного угла равны 90º. Выберите значение углов между биссектрисами плоских углов. 

Решение

Нарисуем куб ABCDA1B1C1D1 (см. рисунок).

Следовательно, все плоские углы трёхгранного угла ABDA1 с вершиной A прямые, а все грани равные между собой квадраты. Проведем биссектрисы плоских углов трёхгранного угла AC (для ∠DAB) и AB1 (для ∠A1AB). Нам необходимо найти угол между AC и AB1, для этого рассмотрим треугольник AB1C. Его стороны – диагонали равных квадратов, следовательно, этот треугольник равносторонний, поэтому B1AC = 60º

Ответ 60º.