Урок 13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Доказательство теорем об объемах наклонной призмы, конуса и пирамиды

2) Определение усеченной пирамиды и конуса

3) Решение задач на нахождение объемов наклонной призмы, конуса и пирамиды

V=Sh объем призмы

S, S1,S2- площадь основания

h-высота

V=Sh/3 объем пирамиды, объем конуса

V=⅓H(S₁+√(S₁S₂)+S₂) объем усеченной пирамиды и конуса

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурс:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.

Объем наклонной призмы — это произведение площади ее основания на высоту

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Многогранник, гранями которого являются n- угольники  и , расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников ,  и так далее  называется усечённой пирамидой.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найти объем наклонной треугольной призмы высотой 6, в основании которой — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7.

Решение: Объем призмы вычисляется по формуле , т.к. в основании призмы – прямоугольный треугольник, то объем призмы будет вычисляться по формуле , где а и в – катеты треугольника. Подставляя все данные задачи в формулу, получаем ответ: .

№2. Найти объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм АВСD. Сторона АВ=3см, сторона AD=5см, . Высота призмы равна 8см.

Решение: воспользуемся только что доказанной формулой.

Для вычисления площади параллелограмма, лежащего в основании, воспользуемся формулой: .

Площадь основания будет равна .

Подставим полученное значение в формулу для вычисления объёма, получим, что объём призмы равен .

Ответ 60 см3

№3  В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны 6см и 4см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15см2. Найти объём усеченной пирамиды.

Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны  и .

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание.

Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции.

Основания трапеции – диагонали квадратов, то есть основания трапеции соответственно равны  и . Получим, что высота трапеции равна .

Подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма усечённой пирамиды, мы получим, что объём усечённой пирамиды равен .

Ответ 38см3