Урок 13. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

Конспект
На координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Эта окружность задаётся следующим уравнением: x2 + y2 = 1
Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную в первой и второй четвертях. Координаты любой точки этой полуокружности должны удовлетворять уравнению данной окружности.

Координаты точки М – это значения косинуса и синуса угла α, который соответствует этой точке.

x = cos⁡α, y = sin⁡α
Подставив в формулу окружности выражения для x и y получим следующее равенство: cos2 α + sin2 α = 1 (0° ≤ α ≤ 180°).
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством и выполняется для любого угла от нуля градусов до ста восьмидесяти градусов.
В математике существуют формулы, которые позволяют упростить вычисления синусов и косинусов углов. Эти формулы называются формулами приведения:
Если 0° ≤ α ≤ 90°, то
sin⁡(90° — α) = cos⁡α,
cos(90° — α) = sin⁡α.
Если 0° ≤ α ≤ 180°, то
sin⁡(180° — α) = sin⁡α.
cos(180° — α) = —cos⁡α
Вычислим с помощью формул приведения значения синуса угла, равного 150°. Представим угол, равный 150° в виде разности 180° и 30°, воспользуемся соответствующей формулой приведения: sin⁡150° = sin⁡(180° — 30°) = sin⁡30° = 0,5

В верхней полуплоскости прямоугольной системы координат Оху отметим точку А и выразим координаты этой точки через длину отрезка ОА и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох. Построим в верхней полуплоскости единичную полуокружность. Проведём отрезок ОА и обозначим точку пересечения построенного отрезка с полуокружностью точкой М. Абсцисса точки М равна косинусу соответствующего угла α, а ордината точки М – синусу угла α. Определим координаты вектора ОА. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его начала и конца.
Найдём координаты вектора ОМ:
(ОМ) ⃗(cos α — 0; sin α — 0),
(ОM) ⃗(cos α; sin α).
(ОА) ⃗↑↑(ОМ) ⃗, тогда (ОА) ⃗= ОА ∙ (ОМ) ⃗
Запишем равенство векторов в координатах. ((х;у)) ⃗= ((ОА ∙ cos⁡α; ОА ∙ sin⁡α)) ⃗
Так как векторы равны, то равны их соответствующие координаты.
x = ОА ∙ cos α
у = ОА ∙ sin α
Мы выразили координаты точки А через длину отрезка АО и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох: А (ОА ∙ cos α; ОА ∙ sin α)