Урок 13. Производные элементарных функций

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №13. Производные элементарных функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение элементарной функции;

2) производная показательной функции;

2) производные тригонометрических функций;

3) производная логарифмической функции.

Глоссарий по теме

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

1. (ex) ‘= ex
2. (ekx+b) ‘=kekx+b
3. (ax) ‘=axlna
4. 
5. 
6. 
7. (sin x) ‘=cosx
8. (cos x) ‘= -sinx

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

1.Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=ax, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

ax=exln a (1)

так как exln a= (eln a)х= ах.

Стоит отметить свойств о функции ех: производная данной функции равна ей самой

(ex) ‘= ex. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(ekx+b) ‘ = kekx+b. (3)

Производная для ax:

(ax) ‘ = axlna. (4)

2.Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

(5)

Производная функции lnх выражается формулой

(6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

(7)

(8)

3.Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти производную:

1. f(x) = 3lnx

Решение:

Ответ:

1. f(x) = 3·e2x

Решение: (3e2x) ‘ = 3·2· e2x = 6 ·e2x

Ответ: 6 ·e2x

1. f(x) = 2x

Решение: (2x) ‘ = 2xln2

Ответ: 2xln2

Решение:

Ответ:

1. f(x) = sin (2x+1) — 3cos(1-x)

Решение: (sin (2x+1) — 3cos(1-x)) ‘ = 2cos(2x+1) — 3sin(1-x)

Ответ: 2cos(2x+1) — 3sin(1-x)