Урок 13. Теорема Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник.
Соотношение между катетами и гипотенузой было известно еще в Древнем Египте и Вавилоне. Сегодня нам это соотношение известно как теорема Пифагора.
В современной формулировке теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Для доказательства теоремы Пифагора рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетами а, b и гипотенузой с

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b
S(большого квадрата) = (a + b)2
S(большого квадрата) = 4 ∙ SABC + c2
S(большого квадрата) = 4 ∙ 1/2 ab + c2
(a + b)2 = 4 ∙ 1/2 ab + c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, c2 = a2 + b2
Для теоремы Пифагора обратное утверждение также верно: если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Для доказательства рассмотрим треугольник А1В1С1, такой, что угол С1 прямой, стороны A1C1 = АС, B1C1 = ВС.
По теореме Пифагора A1B12 = A1C12 + B1C12
Из равенства сторон следует A1B12 = A1C12 + B1C12 = AC2 + BC2 = AB2, поэтому
A1B12 = AB2
A1B1 = AB
Таким образом треугольники ABC и А1B1C1 равны по трем сторонам, т.к. угол С1 – прямой, то угол С также прямой. Треугольник ABC – прямоугольный.
Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называют пифагоровыми треугольниками.