Урок 14. Второй и третий признаки равенства треугольников

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 14

Второй и третий признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Доказательство и формулировка второго и третьего равенства треугольников.
• Решение задач на доказательство равенства треугольников с использованием признаков.

Тезаурус:

Теорема ‑ утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Второй признак равенства треугольников.

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников.

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Основная литература

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы.// Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали, как определить, являются ли треугольники равными. Для этого мы использовали способ наложения или первый признак равенства треугольников.

Сегодня мы рассмотрим ещё два признака равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников.

Теорема.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1, 

∠А =∠А1

∠C=∠C1

Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. 

Доказательство

1. Наложим треугольник ∆ABC на ∆А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершины B и B1лежали по одну сторону от A1C1.

Так как ∠А =∠А1, ∠C=∠C1, то AB наложится на луч A1B1, BC наложится на луч B1C1 (по аксиоме откладывания угла).

1. Вершина B – с вершиной B1 (по аксиоме откладывания отрезка).
2. Стороны треугольников BС и B1С1, АВ и А1В1совместятся (по аксиоме откладывания отрезка).
3. Треугольник ABC и треугольник А1В1С1 полностью совместится →∆АВС = ∆А1В1С1

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников.

Докажем третий признак равенства треугольников.

Теорема.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1,

АB = А1B1

CB = C1B1

Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. 

Доказательство.

1. Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B с B1, вершины C и C1лежали по разные стороны от прямой A1B1.
2. Так как АC = А1C1, BC = B1C1 (по аксиоме откладывания отрезка), =>∆ А1C1С и ∆ В1С1C – равнобедренные.
3. ∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠A1CB1 = ∠А1С1В1.

АC = А1C1,BC = B1C1 , ∠C = ∠C1→ ∆АВС = ∆А1В1С1 ( по 1 признаку равенства треугольников).

Итак, сегодня мы доказали второй и третий признаки равенства треугольников.

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Дано: ∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1,

АB = А1B1

CB = C1B1

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1. 

Доказательство.

1. Приложим треугольник ABC к треугольнику А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B с B1, вершины C и C1лежали по разные стороны от прямой A1B1.
2. Так как АC = А1C1,→∆АC1С – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника. ∠C =∠С1. (по свойству равнобедренного треугольника).
3. АC = А1C1, BC = B1C1 (по условию), ∠C = ∠C1→∆АВС = ∆А1В1С1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH =∠А1ВH. Будут ли треугольники ABH и BHА1 равными?

По условию в треугольниках ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH = ∠А1ВH, BH ‑ общая сторона.

Следовательно, ∆ABH = ∆BHА1 (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

Ответ: ∆ABH = ∆BHА1.

№ 2. Периметр треугольника AOR равен 21 см, периметр четырёхугольника AORF равен 22 см. При этом AO = RF, OR = AF. Найти AR.

Для решения задачи, нужно вспомнить формулу периметра треугольника и четырёхугольника.

Р∆ AOR = АО + OR + AR = 21 см

РAORF = АО + OR + RF + AF = 22 см

По условию AO = RF, OR = AF, AR ‑ общая сторона →∆AOR = ∆ARF (по 3 признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Т.к. AO = RF, OR = AF.

РAORF = АО + OR + АО + OR = 2 · АО + 2 · OR = 22 см;

АО + OR = 22 : 2 = 11 см

Р∆ AOR = 11см + AR = 21 см

AR = 21см – 11см =10 см

Ответ: AR = 10 см.