Урок 14. Теорема о площади треугольника

Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 aha
Также мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона): S = √(p(p — a)(p — b)(p — c)), где p = (a + b + c)/2.
Выведем формулу для вычисления площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними.
Для этого воспользуемся методом координат.
Расположим треугольник ABC в координатной плоскости так, чтобы точка C совпадала с началом координат, точка B лежала на положительной полуоси Cx, а точка А располагалась в верхней полуплоскости. Найдём координаты точки А.

S = 1/2 ah,
h = b sin C,
S = 1/2 a b sin C
Подставив выражение для вычисления высоты в формулу для вычисления площади треугольника получили, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Теперь рассмотрим параллелограмм АВСD.

Диагональ ВD разбивает параллелограмм на два треугольника: треугольник АВD и треугольник СDВ. Тогда площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих треугольников: SABCD = SABD + SCDB
SABD = 1/(2) AB  AD sin⁡A
Треугольники АВD и СDВ равны по трём сторонам. Следовательно, SABD = SCDB
Подставим формулу для вычисления площади треугольника в выражение для нахождения площади параллелограмма.
SABCD = 1/2 AB  ADsin⁡A + 1/2 AB  AD sin⁡A
Получаем, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: SABCD = AB ∙ AD ∙ sin⁡A