Урок 14. Функция y = k/x и её график

Тема: Функция y = k/x и её график

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Функция y = 1/x является частным случаем функции y = k/x, где k ≠ 0.
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = k/x, где k ≠ 0
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Площадь прямоугольника равна 20 см. Выразив сторону прямоугольника a через значение его площади и сторону b, получим функцию обратной пропорциональности – a = 20/b.
где a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, 20 (см2) – значение площади прямоугольника.
Пример 2. Зададим формулой функцию скорости равномерного движения от времени, если значение пути известно и равно 15 км, v = 15/t,
где v – скорость, t – время в пути, 15 (км) – значение пути. Функция является обратной пропорциональностью.

Рассмотрим свойства функции y = k/x.

Свойства этой функции аналогичны свойствам функции y = 1/x.

• Область определения функции y = k/x – все числа, кроме 0, то есть x ≠ 0;
• На всей своей области определения функция y = k/x непрерывна.

Построим график функции y = k/x

Графиком функции y = k/x является множество точек (x; k/x), где x – любое действительное число, отличное от нуля.
Пусть k = 8.
Графиком функции y = 8/x будет множество точек (x; 8/x), где x – любое действительное число, отличное от нуля.
Определим координаты некоторого количества точек, принадлежащих графику функции y = 8/x. Вычислим значение функции y, подставив значения х (–4, –2, –1, 1, 2, 4, 8) и заполним таблицу

Отметим полученные точки на координатной плоскости
Полученный график является функцией y = 8/x и называется гиперболой.
Точка начала координат не принадлежит графику, так как не входит в область определения функции y = 8/x.
При положительных значениях абсцисс ординаты положительны – x>0 y>0.
При отрицательных значениях абсцисс ординаты отрицательны – x<0 y<0.
Таким образом функция y = 8/x убывает на промежутке (-∞; 0) и на промежутке (0; ∞).
Для x>0
Если x → ∞, то y = 8/x → 0
Если x → 0, то y = 8/x → ∞
Для x<0
Если x → – ∞, то y = 8/x → 0
Если x → 0, то y = 8/x → – ∞
График функции y = 8/x симметричен относительно начала координат.
Функция – нечетная: y (–x) = – y(x). Например, y (8) = 1, y (–8) = –1.
График функции y = 8/x состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Расположение графика определяет знак коэффициента k.
Если k>0, то график функции y = k/x расположен в I и III координатных четвертях.
Если k<0, то график функции y = k/x расположен во II и IV координатных четвертях.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.