Урок 15. Возрастание и убывание функции

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f)
2. Найти f‘(x).
3. Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) <f(x2)

2. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2)

Теоремы

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10.

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х5–5х4 +5х3 – 4.

Решение:

y‘ =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .