Урок 15. Теорема синусов

Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов.

S = 1/2 b c sin⁡A, (1)
S = 1/2 a с sin B. (2)
S = 1/2 a b sin C. (3)
Приравняем первое и второе равенства:
1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sin B
Умножим обе части получившего равенства на два и разделим на с:
1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sinB | ∙2
b c sin⁡A = a c sinB | :c
b sin⁡A = a sinB
Из полученного равенства составим пропорцию – равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов: b/sinB = a/sinA
Приравняем второе и третье равенства и проведём аналогичные преобразования:
1/2 a c sinB = 1/2 a b sinC | ∙2
a c sinB = a b sinC | :a
c sinB = b sinC
c/sinC = b/sinB (5)
Из четвёртого и пятого равенств получаем, что отношения длины стороны к синусу противолежащего угла равны: c/sinC = b/sinB = a/sinA
Около треугольника опишем окружность и выясним, как связаны отношения стороны к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника может быть расположен на стороне треугольника, внутри треугольника и вне треугольника.
Если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

Запишем для этого треугольника теорему синусов: c/sinC = b/sinB = a/sinА
Так как гипотенуза треугольника является диаметром окружности, а синус девяноста градусов равен единице, то отношения стороны треугольника к синусу противолежащего угла равны диаметру описанной окружности:
c/sinC = b/sinB = a/sinА = 2R/(sin90°) = 2R
Для двух других случаев.

1) Проведём диаметр ВА1.
2) ∆А1ВС – прямоугольный
sin⁡A1 = (BC)/(BA1), тогда ВС = ВА1 ∙ sin⁡A1
3) ∠А1 = ∠А, тогда sin⁡A1 = sin⁡A
4) BC/(sinA1) = BC/sinА = BA1 = 2R

1) Проведём диаметр ВА1.
2) ∆А1ВС – прямоугольный
sin⁡A1 = (BC)/(BA1), тогда ВС = ВА1 ∙ sin⁡A1
3) ∠А1 = 180°- ∠А, тогда sin⁡A1 = sin⁡A
4) BC/(sinA1) = BC/sinА = BA1 = 2R