Урок 16. Арифметический корень натуральной степениКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.
Перечень тем, рассматриваемых на уроке:
- преобразование и вычисление арифметических корней,
- свойства арифметического корня натуральной степени,
- корень нечетной степени из отрицательного числа,
- какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.
Глоссарий
- Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
- Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
- Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
- Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
- Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
- Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
- Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.
Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»
Решим задачу.
Площадь квадрата S=16 м².
Обозначим сторону квадрата а, м.
Тогда, а² = 16.
Решим данное уравнение:
a=4 и а= –4.
Проверим решение:
4² = 16;
(–4)² = 16.
Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.
Определение:
Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
Определение:
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обозначение: 
.
Определение:
Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Обозначение: 
.
Например:
.
.
.
На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.
Определение:
Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
Определение:
Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Обозначение: 
– корень n-й степени, где
n–степень арифметического корня;
а– подкоренное выражение.
Давайте рассмотрим такой пример: 
.
Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, 
.
Еще один пример: 
.
Мы знаем, что (–3)5 = –243, следовательно, 
.
На основании этих примеров, можно сделать вывод:
, при условии, что n –нечетное число.
Свойства арифметического корня натуральной степени:
Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:
.
.Примеры:
.
.
.
.Примеры:
.
.
.
.Пример:
.
.
.Пример:
.
- Для любогоа справедливо равенство:
Пример:
Найдите значение выражения 
, при 3 <x< 6.
Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:
=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;
=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.
Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.
Примеры заданий.
Первый пример.
Задача:
Выберите верные утверждения:
Разбор задания.
Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.
Ответ: 
; 
; 
Второй пример.
Задача:
Выделите самое маленькое число:
Разбор задания:
Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число – 
Ответ: 4. 