Урок 16. Теорема косинусов

Конспект
Мы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен девяноста градусам). Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол тупой (то есть больше девяноста градусов).
Сформулируем и докажем теорему косинусов, которая даст нам возможность находить длину стороны треугольника, если известны две другие его стороны и угол между ними и определять вид треугольника, зная длины его сторон.
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними: а2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Введём систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Ах, а точка С имела положительную ординату.

В этой системе координат определим координаты точек А, В и С. Выразим квадрат расстояния между точками В и С через их координаты:
ВС2 = (xC — xB)2 + (yC — yB)2, a2 = (bcos A — c)2 + (bsin A — 0)2
Раскроем скобки и преобразуем получившееся выражение:
a2 = b2 cos2 A — 2bc cosA + c2 + b2 sin2 A
a2 = b2 cos2 A + b2 sin2 A + c2 — 2bc cos A
a2 = b2 (cos2 A + sin2 A) + c2 — 2bc cosA
a2 = b2 ∙ 1 + c2 — 2bc cosA
a2 = b2 + c2 — 2bc cos A
Эта теорема справедлива для всех сторон треугольника:
b2 = a2 + c2 — 2ac cosB
c2 = a2 + b2 — 2ab cosC.
Теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора, так как теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.
Запишем теорему косинусов для гипотенузы прямоугольного треугольника:
c2 = a2 + b2 — 2ab cos C
cos C = cos⁡90° = 0,
c2 = a2 + b2
То есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Зная три стороны треугольника, можно найти косинусы его углов, а значит, и сами углы.

a2 = b2 + c2 — 2bc cosA,
2bc cosA = b2 + c2 — a2,
cosA = (b2 + c2 — a2)/2bc.
Если cos A>0, то ∠A — острый.
Если cosA = 0, то ∠A — прямой.
Если cosA<0, то ∠A — тупой.
Таким образом, определив знак косинуса большего угла треугольника с заданными сторонами, мы можем определить вид данного треугольника.