Урок 17. Вектор в пространстве

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №17. Вектор в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.

— познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;

— сформировать представление о векторных и скалярных величинах;

— научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.

учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.

Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

1)Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом.

КК — нулевой вектор, обозначается  . Длина вектора обозначается ||.

2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора  и  коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то  и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы  и  называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись  означает, что векторы  и  сонаправлены, а запись  — что векторы с и d противоположно направлены.

3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Интерактивная модель «Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы «.

4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.

Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор  называется суммой  и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=

5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.

Интерактивная модель «Законы действия с векторами».

Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Интерактивная модель «Правило многоугольника».

6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

7)Вычитание векторов: Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Разность  —  можно найти по формуле  —  =  + (-), где (-) — вектор, противоположный вектору .
—=.

8)Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|·||, причем векторы  и  сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на произвольное число считается нулевой вектор.
Произведение вектора  на число k обозначается так: k. Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора  векторы  и k коллинеарны. Из этого же определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов ,  и любых чисел k, l справедливы равенства:
(kl) = k(l) (сочетательный закон);
k( + ) = k + k (первый распределительный закон);
(к+l) = k + l (второй распределительный закон).

Лемма. Если векторы  и  коллинеарны и вектор  не равен нулевому вектору, то существует число k такое, что вектор  равен k.

Интерактивная модель «Законы действия с векторами».