Урок 17. Иррациональные числа

Тема: Иррациональные числа

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

На координатной оси с единичным отрезком ОЕ отмечена точка D. Является ли длина отрезка OD рациональным числом?
Измерим длину OD при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD, длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3, OD ≈ 3.
Чтобы измерить длину OD возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE1.

От точки F отложим OE1 дважды при этом получится остаток F1D, длина которого меньше длины отрезка OE1, выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3,2, OD ≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.

Иррациональными называются числа, не являющиеся рациональными, то есть числа, которые не могут быть представлены в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Приведем пример такого числа.

Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE. Проведем диагональ ОВ. Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ. Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S в два раза больше, S = 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE’ укладывается в отрезок OB один раз, при этом получается остаток – E’B. Округлив до целых, получим, что длина стороны OB приблизительно равна одному. OB ≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ и так далее. На одном из шагов получим число: OB ≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I.

I – множество иррациональных чисел.

Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной оси ставит в соответствие бесконечную десятичную дробь, модуль которой равен длине измеряемого отрезка.

|OD| = 3,2300980107…
Точке D соответствует число 3,2300980107…
|OG| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О – положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О такую точку А, что длина отрезка ОА выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А.
|OA| = 2,2(0)
Точке A соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.

Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R).

Таким образом, каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной оси, и наоборот: каждой точке координатной оси соответствует единственное действительное число.
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить (на число, отличное от нуля). Эти действия будут выполняться по тем же правилам, что и действия над рациональными числами.
Найдем приближенное значение разности чисел:
3/11 – 0,12230071000134…
3/11=0,(27) ≈ 0,27
0,12230071000134…≈ 0,12
3/11 – 0,12230071000134… ≈ 0,27 – 0,12 = 0,15

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.