Урок 17. Обобщение и систематизация знаний по теме «Равные треугольники»

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 17

Обобщение и систематизация знаний по теме:

«Равные треугольники»

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение задач на вычисление элементов и доказательство равенства треугольников повышенного уровня.
• Формулирование и применение при решении задач признаков равенства треугольников.
• Выполнение практических заданий.
• Исследование и обоснование выбора одного из признаков при решении конкретной задачи.

Тезаурус:

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Стороны треугольника – отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники – такие треугольники, которые можно совместить наложением.

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте вспомним, что мы уже знаем о треугольнике и также закрепим навыки решения задач на доказательство равенства треугольников, применения признаков равенства треугольников.

Рассмотрим ∆АВС

А, В, С – вершины треугольника АВС

АВ, ВС, СА – стороны треугольника АВС

∠А, ∠В, ∠С – углы треугольника АВС

Сумма длин всех его сторон – периметр треугольника.

Р = АВ + ВС + СА

Вспомним виды треугольников.

Разносторонний треугольник – все его стороны имеют различную длину.

Равнобедренный треугольник – две его стороны равны между собой.

Равносторонний треугольник – все его стороны равны между собой.

Теперь повторим теоремы о равенстве треугольников: признаки равенства треугольников.

1) Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Решим задачу.

Докажите, что ∆ABC = ∆A1B1C1, если AB = A1B1, AC = A1C1, AM = A1M1, при этом AM и A1M1 – медианы треугольников.

Дано:

∆ABC

∆A1B1C1

AB = A1B1, AC = A1C1, AM = A1M1

AM и A1M1 – медианы треугольников

Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство:

Построим AM = MD

A1M1 = M1D1

Т. к. AM = A1M1 и AM = MD, A1M1 = M1D1 → MD = M1D1 → AD = A1D1

∆AMB = ∆DMC (по первому признаку равенства треугольников), т. к. BM = MC (AM – медиана), ∠BMA = ∠DMC (по свойству вертикальных углов), AM = MD (построение).

Аналогично: ∆A1M1B1 = ∆D1M1C1(1 признак равенства треугольников), т. к. B1M1 = M1C1 (A1M1 – медиана по условию), ∠B1M1A1 = ∠D1M1C1 (по свойству вертикальных углов), A1M1 = M1D1 (построение).

AB = DC = A1B1, A1B1 = D1C1→ DC = D1C1.

Аналогично: ∆AMC = ∆DMB (по первому признаку равенства треугольников), т. к. BM = MC (AM – медиана по условию), ∠BMD = ∠AMC (по свойству вертикальных углов)), AM = MD (построение).

∆A1M1C1 = ∆D1M1B1 (по первому признаку равенства треугольников), т. к. B1M1 = M1C1 (A1M1 – медиана по условию),

∠B1M1D1 = ∠A1M1C1 (по свойству вертикальных углов), A1M1 = M1D1 (построение).

BD = B1D1 = AC = A1C1→ ∆ABD = ∆A1B1D1 (3 признак равенства треугольников) по трём равным сторонам. →∠BAM = ∠B1A1M1

∆ACD = ∆A1C1D1 (по третьему признаку равенства треугольников) → ∠CAM = ∠C1A1M1.

→∠BAM + ∠CAM = ∠B1A1M1 + ∠C1A1M1 = ∠A = ∠A1

→∆ABC = ∆A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников), AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A∠A1.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачу на доказательства методом от противного.

Даны три точки A, B, C лежащие на одной прямой а и точка D не лежащая на этой прямой.

Докажем, что, по крайней мере, два из отрезков AD, BD, СВ не равны друг другу.

Решение:

Изобразим чертёж по условию задачи.

Докажем, что отрезки AD, BD, СВ не могут быть равны одновременно.

Допустим, что это не так, что AD = BD = СВ →∆ADB, ∆DСВ и ∆ADС – равнобедренные. →∠A = ∠C = ∠DBA = ∠DBC. (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. A, B, C ϵ а →∠ABC = 180° (по определению развёрнутого угла).

Т. к. ∠ABC = ∠DBA + ∠DBC →∠DBA = ∠DBC = 90° →DB ┴ а (по определению перпендикуляра).

Т. к. ∠A = ∠C = ∠DBA = ∠DBC = 90° → DA┴ а и DC┴ а. (по определению перпендикуляра).

Получается, что из одной точки D на прямую, а проведено 2 перпендикуляра, что невозможно (по теореме о единственности перпендикуляра к прямой, проведённого через определённую точку).

Следовательно, наше допущение AD = BD = СВ неверно. Поэтому отрезки AD, BD, СВ не могут быть равны одновременно.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. ΔABC – равнобедренный. AD и CF – биссектрисы углов CAB и ACB соответственно. По какому признаку равны ΔADC и ΔCFA?

Решение:

По рисунку видно, что AC – общая сторона, ∠FAC = ∠DCA (как углы при основании равнобедренного треугольника). Т. к. AD и CF – биссектрисы равных углов, то ∠FAD = ∠DAC = ∠DCF = ∠FCA→ ΔADC = ΔCFA (по 2 признаку равенства треугольников, по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: 2 признак равенства треугольников.

2. Равны ли треугольники RMT и TNS, если отрезок MR ┴ MS, NR ┴ NS, MT = TN?

Решение:

По условию MR┴MS, TN┴NR → ∠М = ∠N = 90°, MT = TN (по условию), ∠MTR = ∠NTS (как вертикальные) → ∆RMT = ∆TNS (по 2 признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: ∆RMT = ∆TNS.