Урок 17. Признаки подобия треугольниковДва треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Процесс нахождения подобных треугольников можно упростить, зная признаки подобия треугольников.
Первый признак подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ ABC и ∆A1B1C1
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1
Доказать:
∆ ABC ~ ∆ A1B1C1
Доказательство:
∠С = 180° — ∠A − ∠B
∠С1 = 180°- ∠A1 − ∠B1, но
∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1
Следовательно ∠С = ∠С1
SABC/SA1B1C1 = (AB ∙ AC)/(A1B1 ∙ A1C1 ), т.к. ∠A = ∠A1
SABC/SA1B1C1 = (CA ∙ CB)/(C1A1 ∙ C1B1), т.к. ∠С = ∠С1,
следовательно AB/(A1B1) = CB/(C1B1)
CB/(C1B1) = AC/(A1C1),
AB/(A1B1) = CB/(C1B1) = AC/(A1C1)
Второй признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ ABC и ∆ A1B1C1
AB/(A1B1) = AC/(A1C1), ∠A = ∠A1
Доказать:
∆ ABC ~ ∆ A1B1C1
Доказательство:
1)∆ ABC2: ∠1 = ∠А, ∠2 = ∠В1
2)∆ ABC2 ~ ∆ A1B1C1, следовательно
AB/(A1B1) = (AC2)/(A1C1)
3) из условия известно, что AB/(A1B1) = AC/(A1C1), поэтому АС = АС2
4)∆ ABC = ∆ ABC2 (АВ – общая сторона, АС = АС2 и ∠1 = ∠А)
5)∠B = ∠2 = ∠В1, следовательно
∆ ABC ~ ∆ A1B1C1
Третий признак подобия треугольников.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Рассмотрим трапецию ABCD (BC || AD)
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Две пары накрест лежащих углов при параллельных прямых BС и АD равны, поэтому треугольники ВОС и DOA подобны по первому признаку.
Следовательно: стороны этих треугольников пропорциональны.
Диагонали трапеции точкой пересечения делятся на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции.