Урок 17. Степень с рациональным и действительным показателемКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие степени;
2) определение степени с рациональным и действительным показателем;
3) нахождения значения степени с действительным показателем.
Глоссарий по теме
Если n- натуральное число, 
, m— целое число и частное 
является целым числом, то при 
справедливо равенство:
.
При любом действительном х 
и любом положительном а 
) степень 
является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень 
определяют только при 
и считают, что 
При 
выражение 
не имеет смысла.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Пример: вычислим 
Мы можем представить 
, тогда
Таким образом, мы можем записать
или 
На основании данного примера можно сделать вывод:
Если n- натуральное число, 
, m— целое число и частное 
является целым числом, то при 
0 справедливо равенство:
.
Напомним, что r-рациональное число вида 
, где m— целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.
Если 
, то выражение 
имеет смысл не только при 
0, но и при а=0, причем, 
Поэтому считают, что при r
0 выполняется равенство 
Пользуясь формулой 
степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Рассмотрим несколько примеров:
Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 
0 и 
0 ы следующие равенства:
;
;
;
;
Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:
- Вычислим:
- Упростить выражение:
В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:
А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере 
.
Пусть 
последовательность десятичных приближений с недостатком 
:
Эта последовательность стремится к числу 
, т.е. 
Числа 
являются рациональными, и для них определены степени 
т.е. определена последовательность 
Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают 
, т.е. 
.
Опредление степени с действительным показателем.
При любом действительном х 
и любом положительном а 
) степень 
является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень 
определяют только при 
и считают, что 
При 
выражение 
не имеет смысла.
Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.
Теорема. Пусть 
и 
. Тогда 
.
Доказательство:
По условию 
. Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂)
. Умножив обе части этого равенства на положительное число 
, получим 
. По свойству умножения степеней получаем: 
, т.е. 
.
Из данной теоремы вытекают три следствия:
- Пусть
Тогда 
- Пусть
и 
Тогда 
и 
.
- Пусть
и 
и 
.
Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Сравнить числа 
Сравним показатели 
Т.к. 
, 
и 12 < 18, то 
.
Поэтому по теореме 
Пример 2. Решим уравнение
.
Поэтому уравнение можно записать так:
Получим, 
, разделим на 2 обе части уравнения.
Следовательно, 
Пример 3. Сравнить числа 
Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится — наименьшее общее кратное двух и трех:
Т.к. 0<8<9 и 
, то 
, т.е. 
.