Урок 18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах

-определение компланарных векторов.

— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

— основы векторного метода решения задач.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса.  2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность  векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.

Компланарные векторы.

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим некоторые случаи:

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них 
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести 
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему 
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко 
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор  можно представить в виде  = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы ,  и  компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна  сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы:  = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.

Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон  Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы:     . Векторы некомпланарны.

Разложим векторы и   по векторам. Получим:

+= .

Тогда векторы = + компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.