Урок 18. Сечения многогранников

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №18. Сечения многогранников

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Решение задач, сводящихся к доказательству, связанному с построением сечения многогранника

Построение сечения многогранников

Решение задач на нахождение площадей сечений многогранников

Площадь

треугольника S=½hа

трапеции S=½h(а+b)

параллелограмма S=hа

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурс:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.  

Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b, b∥c, то и a∥c.   Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.   Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.  

Определение:  две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.  

Признак параллельности двух плоскостей:  если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.  

Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.  

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)

Если плоскости α и β пересекаются по прямой a, а плоскости β и γ пересекаются по прямой b, причем a∥b, то плоскости α и γ пересекутся по прямой c∥a∥b.  

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A.   Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

Решение:

сначала построим сечение по условию задачи.

1)Пусть AC∩BD=O. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Заметим, что т.к. ∠SAB=∠SAD=90∘⇒SA⊥(ABC).   Проведем в плоскости SAC прямую OK∥SC. Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA. Через точку K в плоскости SAB проведем KM∥SB (следовательно, M – середина AB). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью.   Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки O и M, получим прямую MN.   Т.к. α∥(SBC),то α пересечет плоскость SCD по прямой NP∥SC (если NP∩SC≠∅, то α∩(SBC)≠∅, что невозможно ввиду их параллельности).   Таким образом, KMNP – искомое сечение, причем KP∥AD∥MN⇒ это трапеция.  

2)Т.к. все точки K,M,N,P – середины отрезков SA,AB,CD,SD соответственно, то:   а) MN=AD=a   б) KP=1/2AD=a/2   в) KM=1/2SB=a 2/2   Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах SB⊥BC⇒KM⊥MN. Таким образом, KMNP – прямоугольная трапеция.   SKMNP=(KP+MN)* KM/ 2 =3 a2/8

Ответ:3 a2/8

№2 Найди площадь сечения прямой призмы, проходящей через середины ребер,  если  =120°, АВ=5 см, ВС=3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см2 .

Решение:

боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

По условию =120°,  – тупой, а поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной основания будет сторона АС. Вычислим длину стороны АС по теореме косинусов.

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Найдем площадь основания, а оно равно площади сечения, по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна .

Ответ: 15 /4 см2

№3 На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:QB=1:2. Точка P — середина ребра AS.

Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

Решение:

пусть сторона основания пирамиды равна 3а, а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

S=BD*SO/2= 3 =6

откуда ah=2 .

Площадь сечения DPQ равна

Ответ: 

№4

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Через середину ребра AC и точки пересечения медиан граней ASB и CSB проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB=21,AS=12 .

Решение:

пусть LK∩SO=H. Тогда по теореме о трех перпендикулярах HK⊥AC как наклонная (HO⊥(ABC),OK⊥AC как проекция). Следовательно, и LK⊥AC.  

Тогда SALC=AC⋅LK/2     Рассмотрим △SKB: BK=AB⋅ /2=21 /2⇒cosB=7 /12 .  

Тогда по теореме косинусов для △KLB:   KL2=729/4⇒KL=27/2

Значит, SALC=567/4=141,75

Ответ : 141,75

№5

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M, АВ=4, АА1=6. Найдите площадь сечения.

Решение:

По теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: KL=AC=4  как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, тогда

 по теореме Пифагора.

Тогда

Ответ: 8