Урок 18. Средняя линия треугольника

Конспект
Рассмотрим треугольник АВС.
Отметим точку M – середину стороны АВ, точку N – середину стороны ВС. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Для любого треугольника и для любой его средней линии выполняется свойство: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Дано: ∆ ABC, MN – средняя линия треугольника
Доказать:
MN || AC, MN = 1/2 AC
Доказательство:
∠B — общий, MB/AB = NB/CB = 1/2, следовательно
∆ MBN ~ ∆ABC, следовательно
1)∠BMN = ∠BAC – соответственные углы, следовательно
MN || AC
2) MN/AC = 1/2, поэтому MN = 1/2 AC
Вывод: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Средняя линия треугольника помогает доказать интересное свойство четырехугольника.
Дано: четырёхугольник ABCD, M, N, K, P – середины сторон
Найти: периметр четырёхугольника MNKP
Решение:
В треугольнике ABC отрезок MN – средняя линия, поэтому MN = 1/2 AC
В треугольнике ADC отрезок PK – средняя линия, поэтому PK = 1/2 AC
В треугольнике ABD отрезок MP – средняя линия, поэтому MP = 1/2 BD
В треугольнике BCD отрезок NK – средняя линия, поэтому NK = 1/2 BD
PMNKP = MN + PK + MP + NK = (1)/2 AC + 1/2 AC + 1/2 BD + 1/2 BD = AC + BD
Заметим, что в четырёхугольнике MNKP противоположные стороны равны, значит по признаку этот четырёхугольник пареллелограмм.
Таким образом, можно сделать вывод: середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм, периметр которого равен сумме длин диагоналей исходного четырёхугольника.
В трапеции также есть средняя линия – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Докажем свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция (BC || AD), MN – средняя линия
Доказать: MN || BC || AD,
MN = (BC + AD)/2
Доказательство:
Проведем прямую BN до пересечения с прямой AD в точке K
В треугольниках BCN и KDN известно:
∠BNC = ∠DNK (вертикальные углы)
∠BCN = ∠KDN (накрест лежащие углы при паралельных прямых BC и AD и секущей CD)
CN = ND (N – середина стороны), следовательно
∆ BCN = ∆ KDN по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует равенство сторон, т.е. BC = DK, BN = NK

Таким образом, MN – средняя линия треугольника ABK, поэтому
MN || AK, а значит MN || AD || BC
Также MN = 1/2 AK = 1/2 (AD + DK) = 1/2(AD + BC)