Урок 18. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Конспект
Пусть нам даны два вектора a ⃗и b ⃗. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным. Полученный угол АОВ будет являться углом между векторами a ⃗и b ⃗.

Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются данные векторы. Для обозначения угла между векторами используют специальное обозначение: (a ⃗b ⃗)̂.
Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба вектора – нулевые, то угол между ними равен 0°: если a ⃗↑↑ b ⃗, то (a ⃗b ⃗)̂ = 0°, если a ⃗ = 0 ⃗ или b ⃗ = 0 ⃗, то (a ⃗b ⃗)̂ = 0°.
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

m ⃗⊥ n ⃗, т.к. (m ⃗n ⃗)̂ = 90°.
Мы знаем, как выполнять сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами – скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

a ⃗∙ b ⃗ = |a ⃗| ∙ |b ⃗| cos⁡(a ⃗b ⃗)̂
Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, косинус угла между векторами равен 0. Поэтому скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: если a ⃗⊥ b ⃗, то a ⃗∙ b ⃗ = |a ⃗| ∙ |b ⃗| cos⁡90° = |a ⃗| ∙ |b ⃗| ∙ 0 = 0
Верно и обратное утверждение: если скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то эти векторы перпендикулярны: если a ⃗∙ b ⃗ = 0, то |a ⃗| ∙ |b ⃗| cos⁡(a ⃗b ⃗)̂ = 0, тогда cos⁡(a ⃗b ⃗)̂ = 0.
Следовательно, (a ⃗b ⃗)̂ = 90°, т.е. a ⃗⊥ b ⃗.
Скалярным квадратом вектора a ⃗ называется скалярное произведение a ⃗∙ a ⃗
a ⃗2 – скалярный квадрат вектора a ⃗.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a ⃗2 = a ⃗∙ a ⃗ = |a ⃗| ∙ |a ⃗|cos⁡(a ⃗a ⃗)̂ = |a ⃗| ∙ |a ⃗| cos⁡0° = |a ⃗| ∙ |a ⃗| ∙ 1 = |a ⃗|2.
Скалярное произведение векторов встречается и в физике. Работа постоянной силы F ⃗ при перемещении тела из точки К в точку М равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними. То есть работы силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения.
A = |F ⃗| ∙ |(KM) ⃗|cos α
A = F ⃗∙(KM) ⃗