Урок 19. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Конспект
Теорема: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямоуго угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано: ∆ABC, ∠С=90°, CD⊥AB
Доказать: ∆ACD ~ ∆ABC, ∆BCD ~ ∆BAC, ∆BCD ~ ∆CAD
Доказательство:
∠А − общий угол, ∠АСВ = ∠ADC = 90°, следовательно, ∆ACD ~ ∆ABC
∠B – общий угол, ∠АСВ = ∠BDC = 90°, следовательно, ∆BCD ~ ∆BAC
Заметим, что ∠САВ = ∠BСD
∠BDC = ∠ADC = 90°, ∠А = ∠BСD, следовательно ∆BCD ~ ∆CAD
Отрезок MN называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и CD, если выполняется равенство для длин отрезков
MN = √(AB ∙ CD)
Пример:
АВ = 5 см, CD = 125 см, MN = 25 см.
Является ли отрезок MN средним пропорциональным между отрезками AB и CD?
Решение:
Воспользуемся равенством MN = √(AB ∙ CD)
25 = √(5 ∙ 125)
25 = √625 – верно, следовательно, отрезок MN является средним пропорциональным между отрезками AB и CD.
Докажем утверждение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Дано: ∆ABC, ∠С = 90°, CD⊥AB

Доказать: CD = √(AD ∙ BD)
Доказательство:
∆BCD ~ ∆CAD, поэтому AD/CD = CD/BD, следовательно, CD2 = AD ∙ BD, откуда CD = √(AD ∙ BD).
Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике выполняются равенства:
CD = √(AD ∙ BD)
AC = √(AB ∙ AD) или BC = √(AB ∙ BD)