Урок 19. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов

Покажем, как связано скалярное произведение векторов с их координатами.

Докажем: a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + у1y2
Доказательство:
Выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным.

Для треугольника АВС запишем теорему косинусов.
AB2 = OA2 + OB2 — 2OA ∙ OB ∙ cosα (1)
Формула (1) выполняется и в случае коллинеарных векторов.
Если векторы коллинеарны, то угол между ними равен 0° или 180°.
Если α = 0°, то cos⁡α = 1.

AB2 = (OA — OB)2 = OA2 + OB2 — 2OA ∙ OB = OA2 + OB2 — 2OA ∙ OB ∙ cosα
Если α = 180°, то cos⁡α = -1

AB2 = (O A + OB)2 = OA2 + OB2 + 2OA ∙ OB = OA2 + OB2 — 2OA ∙ OB ∙ cosα
Запишем равенство (1) через длины векторов a ⃗ и b ⃗.
(AB) ⃗ = b ⃗- a ⃗, (OA) ⃗ = a ⃗, (OB) ⃗ = b ⃗,
|b ⃗- a ⃗ |2 = |a ⃗|2 + |b ⃗|2 — 2a ⃗∙ b ⃗
Выразим из получившегося равенства скалярное произведение векторов:
a ⃗∙ b ⃗ = 1/2 (|a ⃗|2 + |b ⃗|2 — |b ⃗- a ⃗|2) (2)
Запишем координаты векторов и их длины:
a ⃗{x1; у1}, |a ⃗|2 = x12 + y12
b ⃗{x2; у2},|b ⃗|2 = x22 + y22
b ⃗- a ⃗{x2 — x1; y2 — y1}, |b ⃗- a ⃗|2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2
Подставим эти выражения в правую часть равенства (2) и преобразуем получившееся выражение.
a ⃗∙ b ⃗= 1/2 (x12 + y12 + x22 + y22 — (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2)
a ⃗∙ b ⃗= 1/2 (x12 + y12 + x22 + y22 — x22 + 2x1x2 — x12 — y22 + 2y1y2 — y12)
a ⃗∙ b ⃗= 1/2 (2x1x2 + 2y1y2)
a ⃗∙ b ⃗= x1x2 + y1y2
Мы доказали теорему о скалярном произведении векторов.
Теорема (о скалярном произведении векторов).
Скалярное произведение векторов a ⃗{x1; y1} и b ⃗{x2; y2} выражается формулой
a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + y1y2
Из теоремы о скалярном произведении в координатах получим следствия о перпендикулярных векторах и о косинусе угла между ненулевыми векторами.
Следствие 1
Ненулевые векторы a ⃗{x1; y1} и b ⃗{x2; y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.
Следствие 2
Косинус угла α между ненулевыми векторами a ⃗{x1; y1} и b ⃗{x2; y2} выражается формулой cosα = (x1x2 + y1y2)/(√(x12 + y12) ∙ √(x22 + y22)
Выясним, какими свойствами обладает скалярное произведение векторов.
Свойства скалярного произведения векторов:
Первое свойство: скалярный квадрат вектора – неотрицательное число.
1) a ⃗2 ≥ 0, причём a ⃗2>0, если (a) ⃗ ≠ 0 ⃗
a ⃗2 = 0, если (a) ⃗= 0 ⃗.
Доказательство: a ⃗2 = |a ⃗|2 ≥ 0.
Второе свойство называют переместительным законом.
2) a ⃗∙ b ⃗ = b ⃗∙ a ⃗ (переместительный закон)
Доказательство:
a ⃗∙ b ⃗ = |a ⃗| ∙ |b ⃗| ∙ cos⁡(a ⃗b ⃗)̂ = |b ⃗| ∙ |a ⃗| ∙ cos⁡(b ⃗a ⃗)̂ = b ⃗∙ a ⃗
Третье свойство – распределительный закон
3) (a ⃗+ b ⃗) ∙ c ⃗ = a ⃗∙ (c) ⃗+ b ⃗∙ c ⃗
Доказательство:
Введём прямоугольную систему координат, обозначим координаты векторов следующими образом:
a ⃗{x1; у1}, b ⃗{x2; у2}, c ⃗{x3; у3}.
Запишем скалярное произведение векторов a ⃗+ b ⃗ и c ⃗ в координатах.
(x1 + x2) ∙ x3 + (y1 + y2)∙ у3 = (x1x3 + y1y3) + (x2x3 + y2у3) = a ⃗∙ (c) ⃗+ b ⃗∙ c ⃗
Четвёртое свойство – сочетательный закон
4) (ka ⃗) ∙ b ⃗ = k (a ⃗∙ b ⃗), k – любое число (сочетательный закон)
Доказательство:
Т.к. a ⃗{x1; у1}, то ka ⃗{kx1; kу1}.
(ka ⃗) ∙ b ⃗ = (kx1) ∙ x2 + (kу1) ∙ y2 = k(x1x2 + у1y2) = k (a ⃗∙ b ⃗).