Урок 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма

Пусть две параллельные прямые пересечены двумя параллельными прямыми. Образуется четырехугольник, стороны которого попарно параллельны. Такой четырехугольник называется параллелограммом.
В параллелограмме можно провести две диагонали и высоты из каждой вершины к противоположной стороне.
Выясним свойства параллелограмма.
Свойство первое: углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°. Это следует из параллельности сторон параллелограмма.
∠A + ∠B = 180° (BC || AD, ∠A и ∠B – односторонние углы)
Свойство второе: в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
Доказательство:
Рассмотрим параллелограмм ABCD, проведем в нем диагональ АС. Углы, накрест лежащие при параллельных прямых, образующих стороны параллелограмма, попарно равны.
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, BC и AD соответственно)
Сторона АС – общая, треугольники АВС и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому углы B и D равны, стороны AB и CD равны, стороны BC и AD также равны.
∠B = ∠D , AB = CD, BC = AD.
Пользуясь равенством углов, получаем, что углы А и С параллелограмма ABCD равны.
A = ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = ∠C
Свойство третье: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство:
Рассмотрим параллелограмм ABCD, пусть диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Углы 1 и 2, также 3 и 4 – накрест лежащие при параллельных прямых, образующих стороны параллелограмма, поэтому они попарно равны.
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие углы при пересечении секущих AC и BD параллельными прямыми BC и AD соответственно)
Стороны BC и AD равны по второму свойству параллелограмма, поэтому треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство отрезков АО и ОС, ВО и OD.
АО = ОС, ВО = OD.
Рассмотрим биссектрису угла А параллелограмма ABCD.
Она пересекает сторону ВС в некоторой точке. Назовем ее точка К. Углы 1 и 2– накрест лежащие при параллельных прямых, образующих стороны параллелограмма, поэтому они равны: ∠1 = ∠2
Углы 2 и 3 равны, так как AK – биссектриса: ∠2 = ∠3
В треугольнике АВК два равных угла, поэтому он является равнобедренным: ∠1 = ∠2 = ∠3.
Таким образом, мы получили свойство биссектрисы угла параллелограмма: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.