Урок 2. Скалярное произведение векторов

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Основная литература:

Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс — М.: Бином, 2010 — с. 130-148

Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение — 13-е изд-е. — М.: Просвещение, 2014. — с. 51-52

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. — М.: Просвещение, 2010. — с. 259-270.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при 

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дано:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой BD  направляющим может является вектор BD , а для прямой 
 CD— CD вектор (рис. 15)

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D1.

Точка B(0;0;0). Точка D(1;1;0). Точка C(0;1;0) . А точка D(1;1;2).

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD {1-0;1-0;0-0}. А вектор

CD{1-0;1-1;2-0}.

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Рис. 15

Ответ:

Пример 2.

Дано: DABC – пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DC; DA = DB = DC = а.

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Решение:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .

Ответ: