Урок 2. Четырехугольники

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №2. Четырехугольники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Повторить теорию по теме «Четырехугольники»
2. Сформировать навык решения задач по теме «Четырехугольники».
3. Проверь знания учащихся по теме «Четырехугольники».

Глоссарий по теме

Тема «Четырехугольники» одна из важных в курсе геометрии. Вспоминая определения, теоремы и следствия из планиметрии, в будущем нам поможет решать более сложные стереометрические задачи. Вспомним формулы площади .

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Параллелогра́мм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапе́ция — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень.. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2016. С.34-76..

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 7-9 класс М.: Просвещение, 2015.

Рыжик В.И. Геометрия. Диагностические тесты 7-9 класс М.: Просвещение, 2014. С.25-200..

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Дельтоид – это четырехугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея. Свойства. Первое. Углы между сторонами неравной длины равны. Диагонали пересекаются под прямым углом.

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжения всех сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема Фалеса.

Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: ∠COD,

A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3,

A1,A2,A3 ∈ OC; B1,B2,B3 ∈OD,

A1A2=A2A3.
Доказать:

B1B2=B2B3.

Доказательство:

1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3.

2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2.

— A1F ∥ A2B2 (по условию),

— A1A2 ∥ FB2 (по построению).

Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм (по определению).

По свойству противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2.

3) Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E.

4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E.

5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E.

— FB2=B2E (по доказанному),

— ∠B1B2F=∠B3B2E (как вертикальные),

— ∠B2FB1=∠B2EB3 (как внутренние накрест лежащие при A1B1 ∥ A3B3 и секущей EF).

Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3.

Что и требовалось доказать.