Урок 21. Произведение одночлена и многочлена

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 21

Произведение одночлена и многочлена

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Произведение одночлена и многочлена.
• Стандартный вид многочлена.
• Вынесение за скобки общего множителя.
• Противоположные многочлены.

Тезаурус.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Вынесение за скобки общего множителя многочлена – преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена.

Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Сумма противоположных многочленов равна нулю.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами два числовых выражения: 123 + 5 и 7.

Можем ли мы найти произведение данных выражений и его значение?

Конечно, да.

Значение данного выражения можно получить, используя распределительный закон умножения.

(123 + 5) · 7 = 123 · 7 + 5 · 7 = 861 + 35 = 896

Аналогичную арифметическую операцию можно выполнить и с любыми одночленами и многочленами, т.е. найти произведение одночлена и многочленов.

Посмотрим, как выполняется такое действие.

Для начала выясним, что такое произведение одночлена и многочлена.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена данного многочлена.

Например, найдите произведение одночлена х и многочлена а + с.

Решение:

(а + с) х = ах + сх

Если записать равенство в обратном порядке, т. е. преобразовать многочлен в произведение одночлена и многочлена, то получим результат выполнения действия, которое называют вынесением за скобки общего множителя.

ах + сх = (а + с) х

Можно за скобки выносить и более сложный одночлен.

Например, выполним следующее задание.

Дан многочлен 8а2– 4ас– 6а. Вынесите за скобки общий множитель.

Решение:

При выполнении задания нужно выделить одинаковые множители во всех членах исходного многочлена. В данном случае этот множитель равен 2а.

8а2 = 2а4а

-4ас = 2а(-2с)

-6а = 2а(-3)

Выносим его за скобки и получаем произведение одночлена и многочлена следующего вида.

8а2 – 4ас– 6а = 2а(4а– 2с– 3)

А теперь выполним следующее задание.

Найдём произведение многочлена и числа (-1). Раскроем скобки и в результате получим следующий многочлен.

(7ах+4) · (-1) = -7ах– 4

При этом исходный и полученный многочлены называются противоположными.

7ах + 4 и -7ах– 4 – противоположные многочлены.

Например:

4х3 – 5х и – 4х3 + 5х – противоположные многочлены.

Т. к. (4х3– 5х ) · (-1) = – 4х3 + 5х

Эти многочлены противоположные, т. к. один получен из другого путём умножения первого на число минус один.

Рассмотрим сумму противоположных многочленов.

Например:

(4х3– 5х) +(-4х3+ 5х) = 4х3– 5х – 4х3 + 5х = (4 – 4)х3 + (– 5 + 5)х = 0 · х3 + 0 · х = 0

Раскроем скобки и приведём подобные члены в полученном многочлене. Вынесем у подобных членов букву за скобки, в результате в скобках получается числовое выражение равное нулю. Поэтому произведение нуля и буквы даст ноль. Поэтому сумма противоположных многочленов равна нулю.

Проверим следующее утверждение. Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Запишем выражение соответствующее утверждению.

(5а – х)– (с + 4) = (5а – х)+ (-с – 4)

Далее рассмотрим правую и левую часть данного выражения, раскроем скобки и получим равные результаты для правой и левой части выражения.

(5а – х) – (с + 4) = 5а – х – с – 4

(5а – х) + (-с – 4) = 5а – х – с – 4

Таким образом, мы проверили данное утверждение о том, что разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

А теперь выясним, что будет происходить с многочленом, если его умножить на число 1.

Например:

(а + х) · 1 = а · 1 + х · 1 = а + х

Раскроем скобки и в результате получим исходный многочлен.

Если многочлен умножить на число 1, то в результате получится тот же самый многочлен.

Докажем это на практике.

Доказательства.

Пользуясь рисунком, докажите, что для а > 0; с > 0; k > 0; х > 0; у > 0.

а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау

Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.

Для этого на рисунке выделим 4 прямоугольника (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами а и к, третий – со сторонами а и х, четвёртый – со сторонами у и а).

Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, можно найти площадь каждого из 4-х прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, как произведение двух его смежных сторон а и (с + k + х + у).

S1 = а(с + k + х + у).

S2 = ас + аk + ах + ау.

S1 = S2, следовательно: а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Упростите (7ааааа+ 31х) · 81.

Решение:

Для решения задания, сначала приведём многочлен в скобках к стандартному виду, а затем найдём произведение одночлена и многочлена.

(7ааааа + 31х) · 81 = (7а5 + 31х) · 81 = 7а5 · 81 + 31х · 81 = 567а5 + 2511х

Ответ: 567а5 + 2511х.

2. Подберите вместо букв А и В одночлены так, чтобы равенство было верным:

5с · (а + b) = 35асk + 20bс2

Решение:

При выполнении задания, разложим правую часть равенства на множители так, чтобы один из множителей был одночлен 5с, далее вынесем за скобки общий множитель 5с и получим в скобках одночлены a и b.

35асk + 20bс2 = 5с · 7аk + 5с · 4bс = 5с · (7аk + 4bc)

Следовательно: a = 7аk; b = 4bс

Ответ: a = 7аk; b = 4bс.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение одночлена на многочлен, раскрывать скобки, выносить за скобки общий множитель.