Урок 23. Длина окружности

Представим, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Разрежем нить в произвольной точке А и распрямим нить.
Длина полученного отрезка АА1 и есть длина окружности.
Приближённым значением длины окружности является периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника.
Чем больше число сторон у вписанного в окружность правильного многоугольника, тем точнее получим длину окружности, т.е. многоугольник будет плотнее прилегать к окружности.
Таким образом, можно сделать следующее заключение. Точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, при этом количество сторон его может быть неограниченно большим.
Расчет стороны правильного n-угольника an = 2R ∙ sin (180°)/n,
где an – длина стороны n-угольника; R – радиус описанной окружности; n – количество сторон многоугольника.
Применяя эту формулу, выразим длину окружности через её радиус.
Допустим, что С и С‘ длины окружностей, с радиусами, соответственно R и R‘.
В каждую окружность условно впишем правильный n-угольник с периметрами Pn и P’n.
Соответственно стороны многоугольников обозначим an и a’n.
Получим следующие формулы периметров многоугольников:
— для первого многоугольника – P = n ∙ an = n ∙ 2R ∙ sin (180°)/n
— для второго многоугольника – P‘n = n ∙ a‘n = n ∙ 2R‘ ∙ sin (180°)/n
Из данных формул следует равенство: Pn/P‘n = 2R/2R‘ (1)
Данное равенство будет справедливо при любом количестве сторон правильного многоугольника.
При бесконечном увеличении количества, сторон многоугольника n→∞ предел периметра будет стремиться к длине окружности – Pn → C, P‘n → C‘
Таким образом, можно сделать вывод, что предел отношения периметров будет равен пределу отношения длин окружностей: Pn/P‘n = C/C‘
Используя равенство (1) получим: C/C‘ = 2R/2R‘
Таким образом, отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Такое число принято обозначать греческой буквой π.
Формула вычисления длины окружности радиусом R будет записана следующим образом: C/2R = π, C = 2πR
Число π является бесконечной непериодической десятичной дробью. При решении задач и в практической деятельности, пользуются приближенным значением числа π с точностью до одной сотой: число π = 3,14
Формула длины дуги l с произвольным углом α
Так как длина всей окружности равна C = 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360 = πR/180
Длина дуги l с произвольным углом α : l = πR/180 ∙ α