Урок 23. Показательные неравенства

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №23. Показательные неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• простейшие показательные неравенства;
• решение показательных неравенств замена переменной, разложение на множители;
• метод рационализации при решении показательных неравенств;
• метод интервалов при решении показательных неравенств;
• графический метод решения показательных неравенств.

Глоссарий по теме

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

Неравенства вида , называются простейшими показательными неравенствами.

Метод рационализации для решения показательных неравенств – переход от неравенства, содержащего показательные выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных неравенств).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е.,  Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216—220, 223-230.

Дополнительная литература:

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.

Открытые электронные ресурсы:

https://ege.sdamgia.ru/ — решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим показательные неравенства.

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

Неравенства вида , называются простейшими показательными неравенствами.

В самом простом случае неравенство принимает вид: . Очевидно, что знак неравенства может быть любым (<, >, , ).

Множество решения неравенства будет зависеть и от знака неравенства, и от основания степени, и от значения b.

Так как множество значений показательной функции – множество положительных чисел, то при неравенства: и решений не имеют, независимо от значения основания а. В то же время множеством решения неравенств и является все множество действительных чисел, независимо от значения основания а (см. Рисунок 1).

Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства при b<0

Теперь рассмотрим случай b>0, a>1.

В том случае, когда основание степени a>1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства не изменяется (см. Рисунки 2 и 3).

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, a>1.

Рисунок 3 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, a>1.

Теперь рассмотрим случай b>0, 0<a<1.

В том случае, когда основание степени 0<a<1, то при переходе от исходного неравенства к неравенству с показателями знак неравенства изменяется на противоположный (см. Рисунки 4 и 5).

Рисунок 4 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства или при b>0, 0<a<1.

Рисунок 5 – иллюстрация решения простейшего показательного неравенства илипри b>0, 0<a<1.

Для того чтобы решить простейшее показательное неравенство , нужно число b представить в виде степени числа a.

Рассмотрим пример: .

Представим в виде степени числа 5: .

Теперь перепишем данное неравенство в виде: .

Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, поэтому x>3/7.

Ответ: x>3/7.

Рассмотрим еще один пример: .

Перепишем его в виде

.

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменяется на противоположный:

,

,

.

Ответ: .

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных неравенств.

2.1) Рассмотрим пример: .

Преобразуем показатель первого слагаемого: .

Теперь в левой части вынесем за скобку общий множитель: .

Разделим обе части неравенства на 4: . Получили простейшее показательное неравенство. Так как основание степени больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется, получаем: . Решение этого неравенства является полуинтервал (0; 1].

Ответ: (0; 1].

2.2) Рассмотрим еще один пример: .

Заметим, что , поэтому введем новую переменную . Получим вспомогательное неравенство: .

Решим его:

.

Вернемся к исходной переменной:

, .

Так как основание степени меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства изменится на противоположный:

.

Ответ: .

2.3) Рассмотрим еще одной показательное неравенство, которое решается методом замены переменной.

.

Видим, что неравенство зависит от выражения , поэтому введем новую переменную и запишем вспомогательное неравенство: .

Преобразуем полученное неравенство к виду: F(t)<0.

, приведем левую часть к общему знаменателю:

, . Так как , то , поэтому решение полученного неравенства сводится к: , то есть .

Вернемся к исходной переменной: , то есть x<0.

Ответ:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. .

Решение:

Введем новую переменную .

Запишем вспомогательное неравенство: .

1) Если , то решением неравенства является любое значение t, которое удовлетворяет области определения: .

Решив систему: , получаем: .

2) Если (), возведем обе части неравенства в квадрат:

.

Решим его: ,

,

,

0<t<9.

Учитывая условие , получаем: .

Таким образом, объединяя первый и второй случай, получаем решение иррационального вспомогательного неравенства:

.

Вернемся к исходной переменной:

. Так как всегда, то получаем: .

Учитывая, что основание степени больше 1, получаем:

Ответ: .

2. (x^2+x+1)^((x+5)/(x+2))

Решение:

Используем метод рационализации и перепишем неравенство в виде:

,

.

Получили неравенство: .

Упростим его и решим методом интервалов:

,

.

Запишем ответ: .

Ответ: .