Урок 24. Решение задач по теме «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

Вспомним определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
∆ABC, ∠C = 90°
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cosA = AC/AB
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sinA = BC/AB
Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
tgA = BC/AC
cosA = AC/AB
cosB = BC/AB
sinA = BC/AB
sinB = AC/AB
tgA = BC/AC
tgB = AC/BC
Вывод
cosA = AC/AB = sinB
sinA = BC/AB = cosB
tgA ∙ tgB = 1
Углы А и В прямоугольного треугольника АВС называются дополнительными, так как дополняют друг друга до 90°.
∠A + ∠B = 90°.
Таблица значений углов

Для трех углов значения синуса, косинуса и тангенса найдены. Для всех остальных острых углов значения синуса, косинуса и тангенса можно определить по четырехзначным таблицам Брадиса.
Владимир Модестович Брадис (23 декабря 1890 – 23 мая 1975) — советский математик-педагог, член-корреспондент АПН СССР
Рассмотрим фрагмент таблицы Брадиса.
Слева расположен столбец для вычисления синуса, справа – для вычисления косинуса.
Найдем по таблице Брадиса синус 12°. Получим 0,2079.
Косинус 12° можно найти из основного тригонометрического тождества (сумма квадрата синуса некоторого угла и квадрата косинуса этого же угла равна единице).
sin212° + cos212° = 1,
cos212° = 1-0,20792
cos212° ≈ 0,9568
cos12° ≈ 0,97815
По таблице Брадиса получим значение 0,9781
По этим таблицам можно вычислять значения синуса и косинуса для углов, заданных не только в градусах, но и в минутах.
Синус 12° 36′ равен 0,2181
Синус 12° 40′ можно найти с помощью поправочных столбцов. Ближайшее значение для 40 минут – это 42 минуты
Разность составит: sin12°40′ = sin12°42’−2′ = 0,2198 − 0,0006 = 0,2192
Правило. Для синуса поправка имеет положительный знак, а для косинуса отрицательный.
Примеры:
cos 78°40′ = cos78°42′ − 2′ = 0,2279 − (-0,0006) = 0,2285
cos 78°27′ = cos78°24′ + 3′ = 0,1977 + (−0,0009) = 0,1968
Такие же правила верны и для определения значений тангенсов.
На инженерном калькуляторе можно получить аналогичные результаты.
Таблицы Брадиса служат и для определения острого угла. Пусть синус острого угла примерно равен 0,19.
Находим ближайшее к этому значению число. Оно примерно равно 0,1908
Подведем итоги о соотношениях между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Первое.
Для того чтобы найти острый угол прямоугольного треугольника, зная другой острый угол, надо из девяносто градусов вычесть известный угол.

∆ABC, ∠C = 90°
∠A = 90° — ∠B
Второе.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла.
Или катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
Или катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.
AC = AB ∙ cos∠A
или
AC = AB ∙ sin∠B
или
AC = BC ∙ tg∠B
Третье.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего угла.
Или гипотенуза равна частному от деления катета на синус противолежащего угла.
AB = AC/(cos∠A)
AB = AC/(sin∠B)
Рассмотрим треугольник, в котором известны стороны и заключенный между ними угол. Нужно найти площадь этого треугольника.

∆ABC, AB = a, AC = b, ∠A = α
Найти: площадь треугольника.
Опустим высоту СН на сторону АВ.

Треугольник АСН прямоугольный, СН – катет, АС – гипотенуза, α – острый угол.
CH = AC ∙ sinα = b ∙ sinα
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними
Sтреугольника = 1/2 AB ∙ CH = 1/2 a ∙ b ∙ sinα
Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними
Sпараллелограмма = 2Sтреугольника = a ∙ b ∙ sinα
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.