Урок 24. Числовое значение целого выражения. Тождественное равенство целых выражений

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 24

Числовое значение целого выражения. Тождественное равенство целых выражений

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Целые выражения.
• Числовое значение целого выражения.
• Тождественное равенство целых выражений.

Тезаурус:

Равенство между буквенными выражениями, называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство, при подстановке в него вместо букв любых чисел.

Для доказательств тождеств используются свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.

Нулевые многочлены, равные 0, тождественны.

Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.

Для любого целого выражения при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить числовое выражение?

Можно, если вместо букв подставим числа.

(17 + с)

(16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у)

Сегодня мы узнаем, как это сделать.

Как было сказано ранее, если в целое выражение подставить вместо букв числа, то получим числовое выражение.

Пусть с = 2.

Подставим его в выражение (17 + с) и получим:

(17 + 2) = 19

Пусть а = 1; х = 3; у = –1.

Подставим его в выражение: (16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у) и получим:

(16 · 1 – 15 · 3)(3 + 4 · 1) + (3+ (-1)) = -201.

Получили два числовых выражения. Значение первого равно 19, а результат второго числового выражения равен -201.

Результаты вычислений числовых выражений называют числовым значением целого выражения.

Стоит отметить, что для любого целого выражения, при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл, т. к. не содержит деления на ноль, исходя из определения целого выражения.

Рассмотрим теперь равенство одночленов.

3ассасс = 3аасссс

Оно превращается в верное числовое равенство, если в нём заменить буквы числами, т. к. в левой и в правой части будет стоять произведение чисел, но с переставленными множителями, а произведение чисел не зависит от порядка множителей.

Допустим, что:

a = 4,

c = 5,

3 · 4 · 5 · 5 · 4 · 5 · 5 = 3 · 4 · 4 · 5 · 5 · 5 · 5.

Когда говорят, что в равенстве буквы заменяют числами, то имеют ввиду, что одна и та же буква, где бы она не находилась в равенстве, заменяется одним и тем же числом.

Рассмотрим равенство многочленов.

Равенство между буквенными выражениями называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.

Пример.

( а + 3) · (а + 3) = (а + 3)2

Тождество, так как при a = 2 равенство сохраняется:

(2 + 3) · (2 + 3) = (2 + 3) 2

5 · 5 = 52

5 · 5 = 5 · 5

25 = 25.

В математике тождества очень часто приходится доказывать. Поэтому, для доказательства тождества используются ранее изученные нами свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.

Стоит отметить, что нулевые многочлены, равны нулю тождественно, т. е при любых числовых значениях букв, числовое значение целого выражения будет равно нулю.

Пример:

с – c = 2а + 3а – 5а

Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.

Ненулевые многочлены могут обращаться в ноль при определённых числовых значениях букв, а при других значениях букв, многочлен не обратиться в ноль.

а + с, обратится в ноль, только при а = –с,

k – х, обратится в ноль, только при k = х.

х2 + у2 + 1, не обратится в ноль ни при каких числовых значениях х и у.

А теперь рассмотрим, как доказывать тождество.

Рассмотрим задание. Докажите тождество:

(7а + с)(16а – 5с) = 112а2 – 19ас – 5с2

Доказательство:

(7а + с)(16а – 5с) = 7а·16а + 7а·(-5)с + 16ас + с(-5)с = 112а2 – 35ас + 16ас – 5с2 = 112а2 – 19ас – 5с2

Для доказательства, преобразуем левую часть равенства, применив правило умножения многочленов, затем приведём подобные члены.

В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.

А теперь рассмотрим, как можно доказывать неравенства. Рассмотрим следующее задание.

Докажите, что для любых чисел а и с верно следующее неравенство:

а4 + с4 ≥ 0.

Доказательство:

Для любого числа а число а4 ≥ 0.

Для любого числа с число с4 ≥ 0.

Следовательно, для любых чисел а и с верно неравенство а4 + с4 ≥ 0 . Что и требовалось доказать.

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое тождество и как найти числовое значение целого выражения.

Для углублённого изучения материала.

Докажем следующее тождество.

у(2х + у)(2х – у) + 5у2 = 4х2у – у2(у – 5)

Доказательство.

Для доказательства тождества будем преобразовывать как правую, так и левую часть равенства.

Для этого раскроем скобки, используя правила умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен, затем приведем к стандартному виду полученные выражения.

у(2х + у)(2х – у) + 5у2 = у(2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу) + 5у2 = у(4х2 – у2) + 5 у2 = 4х2у – у3+ 5у2

4х2у – у2(у – 5) = 4х2у – у2у + 5 у2 = 4х2у – у3+ 5у2

В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Вычислите числовое значение выражения при а = х = 1

(3ааааа + 2х) (3а5 – 2х) + 4х2

Решение:

Для решения задания, нужно упростить выражение, используя правило умножения многочлена на многочлен, затем привести полученный многочлен в стандартный вид и привести подобные члены.

(3ааааа + 2х) (3а5 – 2х) + 9х2 = (3а5+ 2х) (3а5 – 2х) +9х2 = 3а5 · 3а5 + (–2х) · 3а5 + 2х · 3а5 – 2х · 2х + 9х2 = 9а10 – 6а5х + 6а5х – 4х2 + 4х2 = 9а10 = 9 · 1 = 9.

Ответ: 9.

2. Найдите периметр закрашенного прямоугольника при а = 40 см, c = 0,8 м, k = 50 см.

Решение:

Для выполнения задания, нужно вспомнить, что такое периметр – это сумма всех сторон многоугольника. Периметр прямоугольника, это сумма его четырёх сторон а + а + (с + k) + (с + k). Но стоит обратить внимание на сторону с, она выражена в метрах и требует перевода в см, т. е. с = 0,8 м = 8 (см).

Периметр прямоугольника равен:

40 см + 40 см + 80 см + 80 см + 50 см + 50 см = 340 (см).

Ответ: 340 см.