Урок 25. Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №25. Применение интегралов для решения геометрических и физических задач.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знакомство с применением определенного интеграла в различных предметных областях

2) Знакомство с прикладными задачами, связанными с вычислением определенного интеграла в физике, экономике, геометрии.

3) Решение задач, с помощью определенных интегралов

путь, пройденный телом

Прирост численности популяции N(t) за промежуток времени от t0 до T равен .

Объем тела вращения

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

путь, пройденный телом

Прирост численности популяции N(t) за промежуток времени от t0 до T равен .

Объем тела вращения

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Найти объем тела вращения вокруг оси 0х , ограниченной прямыми у=0, х=0ю у= х2, х=4.

Решение: Построим тело вращения, образованного вращением фигуры вокруг оси 0х

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

и формулой нахождения объемов тел вращения.

Далее подставляем значения в формулу и рассчитываем объем тела вращения.

Ответ 51,2 ед3

№2. Сила в 1 Н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Решение.

Если F–сила, А – работа S– перемещение, то F = A’(S).

Обратимся к физике.

По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональности, х – величина растяжения или сжатия.

Используя данные задачи, найдите коэффициент k. Подставим данные в задаче величины в уравнение, выражающее закон Гука. Получим: .

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится следующим образом:.

Так как сила начинает действовать на пружину в состоянии покоя, то работа

Ответ: 0,015 Дж

№3. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м3), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Решение.

Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой

Р=

Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, xϵ [0;0.4]  Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:

Ответ: 549 Н

№4 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой . Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение.

Физический смысл производной: если тело движется по закону S = S(t), то скорость тела в момент времени t0 равна значению производной функции S(t) в этой точке, т. е. v = S’(t0). Тогда обратное утверждение: если скорость движения тела задана уравнением v = v(t), то путь, пройденный телом от момента времени t = a до момента времени t = b равен . Подставим уравнение скорости в формулу и рассчитаем путь.

Ответ 150м