Урок 25. Решение практических задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектора

Конспект
Задача №1.
Площадь не закрашенного сектора круга равна 10π. Вычислите радиус R.
Воспользуемся формулой вычисления площади сектора круга: S = πR2/360 ∙ α
Отсюда выразим значение R: R = √(S ∙ 360/πα)
Обратим внимание, что в условии речь идет о площади не закрашенной части круга, а на рисунке дан угол закрашенной части круга.
Так как полный круг содержит 360°, вычтем известное нам значение угла закрашенной части сектора: α = 360° – 260° = 100°
Подставим значения в формулу и после преобразований получим искомое значение радиуса сектора круга: R = √((10π ∙ 360)/π100) = √36 = 6
Задача решена.
Задача №2.
Вычислите хорду окружности MN, если l длина дуги, угол дуги α = 120°.
Для решения задачи нужно вычислить значение радиуса окружности и затем по правилу прямоугольного треугольника рассчитать длину хорды.
Вычислим радиус окружности.
Длины дуги окружности с углом альфа: l = πR/180 ∙ α
Выразим отсюда значение радиуса и подставим в формулу значение угла α, после преобразований получим: R = l ∙ 180/πα = l ∙ 180/π120 = l ∙ 3/2π
Обратим внимание на рисунок.
Два радиуса и хорда образуют равнобедренный треугольник.
Радиусы, то есть стороны треугольника вычислены. Можно приступать к расчету длины хорды окружности, являющейся основанием треугольника.
Проведем высоту треугольника из его вершины к основанию.
Она является биссектрисой угла, перпендикуляром к основанию треугольника и делит основание пополам.
Получен прямоугольный треугольник с двумя известными углами ∠OKM = 90°, ∠MOK = 60°.
Применяя правила соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике рассчитаем половину длины хорды: sin60° = MK/OM; MK = sin60° ∙ OM
Подставим значения: MK = √3/2 ∙ l ∙ 3/2π
После преобразований получим длину половину хорды: MK = l (3√3)/4π
Для получения полной длины хорды умножим полученное значение на два и после преобразований получим: MN = MK ∙ 2 = l(3√3)/4π ∙ 2 = l (6√3)/4π = l ∙ (3√3)/2π
Задача решена.
Задача №3.
Вычислить площадь описанной окружности вокруг квадрата, сторона которого, а = 2 см.
Воспользуемся формулой расчета стороны правильного четырёхугольника зная радиус описанной окружности.
Сторона квадрата: a = R√2
Выразим значение радиуса описанной окружности: R = a/√2
Площадь круга: S = πR2
Подставим в формулу значение радиуса и значение стороны квадрата:
S = πR2 = π(a/√2)2 = π a2/2 = 3,1422/2 = 6,28 см2
Задача решена.
Задача №4.
В окружность вписан правильный многоугольник со стороной a. Какова площадь закрашенной части окружности?
Для решения данной задачи необходимо вычесть площадь описанной окружности из площади вписанного многоугольника.
Так как известен радиус окружности рассчитаем её площадь. Обозначим площадь окружности Sо. Площадь окружности: Sо = πR2
Рассчитаем площадь многоугольника. Обозначим площадь многоугольника Sм. Площадь правильного многоугольника: Sм = 1/2 Pr
В приведенном примере рассматриваем шестиугольник, поэтому периметр будет равен P = a ∙ 6
Выразим расчет стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности. Сторона правильного многоугольника: a = 2Rsin (180°)/n
Подставим это значение в формулу периметра многоугольника и после преобразований получим: P = 2Rsin (180°)/n ∙ 6 = 2Rsin (180°)/6 ∙ 6 = 12Rsin30° = 6R.
Для вычисления площади правильного многоугольника также необходимо рассчитать значение радиуса вписанной в этот многоугольник окружности.
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник: r = Rcos (180°)/n.
Подставим в формулу количество сторон многоугольника и после преобразований получим: r = Rcos (180°)/6 = Rcos30° = R √3/2
Подставим полученные значения периметра и радиуса вписанной окружности в формулу расчёта площади правильного многоугольника:
Sм = 1/2 6R ∙ R √3/2 = 3R2 √3/2 = R2 (3√3)/2
Вычислены площади окружности и многоугольника. Рассчитаем площадь закрашенной части окружности. Для этого вычтем из всей площади окружности площадь многоугольника. Получим площадь закрашенной части окружности:
S = πR2 — R2 (3√3)/2 = R2(π — (3√3)/2)
Задача решена.