Урок 26. Квадрат суммы

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 26

Квадрат суммы

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Формула квадрата суммы.
• Разложение многочлена на множители.

Тезаурус:

Формула квадрата суммы:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула квадрата суммы:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа, т. к. а и b можно считать произвольными числами.

Исходя из определения степени, левая часть формулы квадрата суммы – это произведение двух одинаковых многочленов. Применим правило умножения многочлена на многочлен и получим выражение, которое будет совпадать с правой частью формулы квадрата суммы.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Будем применять формулу квадрата суммы, при выполнении различных заданий.

Например, преобразуем выражение в многочлен стандартного вида.

(2а + 3с)2 = (2а)2 + 2·2а·3с + (3с)2 = 4а2 + 12ас + 9с2.

Эту формулу можно применить для упрощения вычислений.

Например, вычислим 422 = (40 + 2)2 = 402+2·40·2 + 22 = 1600 +160 + 4 = 1764.

Ответ:1764.

Стоит отметить, что если формулу квадрата суммы читать справа налево, то говорят, что представленный многочлен можно разложить на множители, притом на два одинаковых.

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2 – разложение на множители.

Представим многочлен в виде квадрата суммы:

25а2 + 10ас + с2.

Решение:

25а2 + 10ас + с2 = (5а)2 + 2 · 5ас + (с)2 = (5а + с) 2.

Докажем, что при любом значении с, многочлен 9с2 +30с + 25 принимает положительные значения.

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся формулой квадрата суммы. Представим многочлен 9с2 + 30с + 25 в виде квадрата суммы.

9с2 + 30с + 25 = (3с + 5)2

Квадрат любого числа всегда принимает положительное значение, поэтому при любом значении с, многочлен 9с2 +30с + 25 принимает положительные значения.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

6ас + а2 + 9с2.

Решение.

Для начала, переставим первое и второе слагаемое местами. Далее обратим внимание на первое и последнее слагаемое многочлена. Первое слагаемое это квадрат а, третье слагаемое ‑ квадрат выражения 3с. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению выражения 3с и а, то этот трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы 3с и а.

6ас + а2 + 9с2 = а2 + 6ас + 9с2 = а2 + 2 · 3ас + (3с)2 = (а + 3с)2

Ответ: (а + 3с)2.

2. Представьте выражение в виде многочлена:

с(с + 8х)2.

Решение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы и правилом умножения одночлена на многочлен.

с(с + 8х)2 = с(с2 + 2 · 8хс + (8х)2) = с(с2 + 16хс + 64х)2 = с3 + 16с2х + 6 4х2.

Ответ: с3 + 16с2х + 64х2.