Урок 26. Построение правильных многоугольников

Для построения правильных n-угольников при n>4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.
Задача 1. Построим правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку
Воспользуемся формулой для стороны правильного шестиугольника:
a6 = 2Rsin (180°)/6 = 2R sin30° = 2R ∙ 1/2 = R, т.е. сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Построим с помощью отрезка PQ окружность, радиусом которой будет являться данный отрезок.
Отметим на окружности точку А1 в произвольном месте. Для построения остальных точек возьмем циркуль. Зафиксируем его раствор размером с выбранный нами отрезок. Не меняя раствора циркуля, построим на окружности точки А2, А3, А4, А5, А6, таким образом, чтобы выполнялись равенства отрезков A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6.
Соединим точки отрезками. Получим искомый правильный шестиугольник
Задача 2. Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.
Пусть А1А2А3Аn правильный n-угольник. Начертим описанную окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2. Точку пересечения биссектрис, а это центр окружности, обозначим буквой О. Из точки пересечения биссектрис проведем окружность радиуса ОА1. Разделим дуги А1А2, А2А3 и так до Аn пополам. Точки деления дуг обозначим как В1, В2 и так до Вn. Для построения точек В1, В2 до Вn можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам рассматриваемого нами многоугольника.
Соединим эти точки с концами соответствующей дуги, т.е. с вершинами многоугольника.
Таким образом, построен правильный двенадцатиугольник из шестиугольника.
С помощью данного способа, применяя простые инструменты циркуль и линейку, можно построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них.
Правило. С помощью циркуля и линейки можно построить любой правильный 2k-угольник, где k любое целое число, большее двух.
Интересные факты.
Семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.
Семнадцатиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.